Questão 14
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Considere o problema de valor inicial s^{\prime \prime}(t)=e^{t}, \operatorname{com} s^{\prime}(0)=0 e s(0)=0. Assinale a alternativa correta:
Escolha uma opção:
Existem infinitas soluções de equilíbrio para esta equação diferencial.
Se a condição inicial fosse s^{\prime}(0)=1, a solução seria s(t)=e^{t}+t-1.
Quando t \rightarrow \infty, s(t) tende a um valor constante.
Nenhuma das demais alternativas
A solução do PVI é s(t)=e^{t}-t-1.
A solução geral da equação diferencial é s(t)=e^{t}+C_{1} t+C_{2}.

Passo 1

O enunciado define o problema de valor inicial para a função s(t) por
s''(t)=e^t,\quad s'(0)=0,\quad s(0)=0.
O objetivo é encontrar a solução particular satisfazendo essas condições, aplicando integração sucessiva.

Passo 2

Integramos s''(t)=e^t para obter
s'(t)=\int e^t\,dt = e^t + C_1.
Integramos novamente para obter a solução geral:
s(t)=\int\bigl(e^t + C_1\bigr)\,dt = e^t + C_1\,t + C_2.

Passo 3

Aplicamos a condição s'(0)=0. Da expressão de s'(t)=e^t + C_1 temos
s'(0)=1 + C_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -1.

Passo 4

Aplicamos a condição s(0)=0. Da expressão de s(t)=e^t + C_1 t + C_2 temos
s(0)=1 + C_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -1.

Passo 5

Substituindo C_1=-1 e C_2=-1 na solução geral resulta na solução do PVI:
s(t)=e^t - t - 1.

Resposta

A solução do PVI é s(t)=e^t - t - 1.

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