Questão 11 - Determine o comprimento da curva dada:
\vec{r}(t)=((1 / t) \cos (t),(1 / t) \operatorname{sen}(t)),[1,+\infty).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica \vec r(t) = \bigl(\tfrac{1}{t}\cos t,\;\tfrac{1}{t}\operatorname{sen} t\bigr) para t\in[1,\infty).
O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de curva: usamos
L = \int_{a}^{b} \bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Vamos calcular a derivada \vec r\,'(t). Para a componente x(t)=\tfrac{\cos t}{t} e y(t)=\tfrac{\operatorname{sen} t}{t},
x'(t) = -\frac{\cos t}{t^2} - \frac{\operatorname{sen} t}{t}, \quad y'(t) = -\frac{\operatorname{sen} t}{t^2} + \frac{\cos t}{t}.
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\vec r\,'(t) = \bigl(-\tfrac{\cos t}{t^2} - \tfrac{\operatorname{sen} t}{t},\;-\tfrac{\operatorname{sen} t}{t^2} + \tfrac{\cos t}{t}\bigr).

Passo 3

Agora a norma \|\vec r\,'(t)\| é
\|\vec r\,'(t)\| = \sqrt{\Bigl(-\tfrac{\cos t}{t^2}-\tfrac{\operatorname{sen} t}{t}\Bigr)^{2} +\Bigl(-\tfrac{\operatorname{sen} t}{t^2}+\tfrac{\cos t}{t}\Bigr)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{t^2} + \frac{1}{t^4}} = \frac{\sqrt{t^2+1}}{t^2}.

Passo 4

O comprimento é
L = \int_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{t^2+1}}{t^2}\,dt.
Para avaliar, note que
\frac{\sqrt{t^2+1}}{t^2} = \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} + \frac{1}{t^2\sqrt{t^2+1}}.

Passo 5

Calculamos separadamente
\int \frac{1}{\sqrt{t^2+1}}\,dt = \ln\bigl(t + \sqrt{t^2+1}\bigr)+C
e
\int \frac{1}{t^2\sqrt{t^2+1}}\,dt = -\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}+C.
Assim
\int_{1}^{T} \frac{\sqrt{t^2+1}}{t^2}\,dt = \Bigl[\ln\bigl(t+\sqrt{t^2+1}\bigr)\Bigr]_{1}^{T} + \Bigl[-\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}\Bigr]_{1}^{T}.

Passo 6

Ao fazer T\to\infty, temos \ln\bigl(T+\sqrt{T^2+1}\bigr)\to\infty e \sqrt{T^2+1}/T\to1,
então o integral diverge (vai para +\infty).

Resposta

O comprimento da curva é infinito.

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