Questão 1 - Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} \cos y}{3 x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y^{2}\cos y}{3x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis. Para resolver, vamos testar alguns caminhos e em seguida usar coordenadas polares para uma prova geral de existência e valor do limite.

Passo 2

Antes de polar, verificamos o valor ao longo de eixos e retas:
  • Se y=0, então o numerador é x\cdot0^2\cos0=0 e o denominador é 3x^2\neq0 (para x\neq0), logo
f(x,0)=0\quad\Longrightarrow\quad\lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,0)=0.
  • Se x=0, o numerador é 0\cdot y^2\cos y=0 e o denominador é y^2\neq0 (para y\neq0), então
f(0,y)=0\quad\Longrightarrow\quad\lim_{(0,y)\to(0,0)}f(0,y)=0.
  • Se y=kx para constante k, então
f\bigl(x,kx\bigr) =\frac{x\,(kx)^{2}\cos(kx)}{3x^{2}+(kx)^{2}} =\frac{k^{2}x^{3}\cos(kx)}{(3+k^{2})x^{2}} =\frac{k^{2}\cos(kx)}{3+k^{2}}\,x \;\xrightarrow[x\to0]{}\;0.
Todos esses caminhos dão 0, sugerindo que o limite é 0. Para garantir que não haja outro valor, partimos para coordenadas polares.

Passo 3

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r\ge0,
e temos
3x^{2}+y^{2} =3r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}\bigl(3\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta\bigr).
O numerador vira
x\,y^{2}\cos y = \bigl(r\cos\theta\bigr)\bigl(r\sin\theta\bigr)^{2}\cos\bigl(r\sin\theta\bigr) = r^{3}\cos\theta\,\sin^{2}\theta\;\cos\bigl(r\sin\theta\bigr).
Portanto
f(r,\theta) =\frac{r^{3}\cos\theta\,\sin^{2}\theta\;\cos(r\sin\theta)} {r^{2}\bigl(3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr)} = r\;\frac{\cos\theta\,\sin^{2}\theta\;\cos(r\sin\theta)} {3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}.

Passo 4

Observe que para todo \theta e r pequeno vale
\bigl|\cos\theta\,\sin^{2}\theta\;\cos(r\sin\theta)\bigr|\;\le\;1 \quad\text{e}\quad 3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\;\ge\;\min(3,1)=1.
Logo existe constante M\le1 tal que
\bigl|f(r,\theta)\bigr|\le r\cdot M \le r.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue pelo teorema do confronto que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{r\to0}f(r,\theta) =0.

Resposta

0

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