Questão 11 - Determine o comprimento da curva dada:
\vec{r}(t)=\cos (\pi t) \vec{i}+\operatorname{sen}(\pi t) \vec{j}+2 t \vec{k}, \quad 1 \leq t \leq 4.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica em \mathbb{R}^3 \vec{r}(t)=\cos(\pi t)\,\vec{i} + \sin(\pi t)\,\vec{j} + 2t\,\vec{k}, \quad 1 \le t \le 4,
e pede o comprimento dessa curva. Para resolver, vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica:
L = \int_{t_1}^{t_2} \bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada de \vec{r}(t) componente a componente:
\vec{r}\,'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(\cos(\pi t)\bigr)\,\vec{i} + \frac{d}{dt}\bigl(\sin(\pi t)\bigr)\,\vec{j} + \frac{d}{dt}(2t)\,\vec{k}.
Como
\frac{d}{dt}\cos(\pi t) = -\pi\sin(\pi t),\quad \frac{d}{dt}\sin(\pi t) = \pi\cos(\pi t),\quad \frac{d}{dt}(2t) = 2,
temos
\vec{r}\,'(t) = -\pi\sin(\pi t)\,\vec{i} \;+\;\pi\cos(\pi t)\,\vec{j}\;+\;2\,\vec{k}.

Passo 3

O módulo de \vec{r}\,'(t) é
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| = \sqrt{\bigl(-\pi\sin(\pi t)\bigr)^2 + \bigl(\pi\cos(\pi t)\bigr)^2 + 2^2} = \sqrt{\pi^2\bigl(\sin^2(\pi t)+\cos^2(\pi t)\bigr) + 4} = \sqrt{\pi^2 + 4}.
Note que é constante em t.

Passo 4

Substituindo na integral de comprimento:
L = \int_{1}^{4} \sqrt{\pi^2 + 4}\,dt = \sqrt{\pi^2 + 4}\;\int_{1}^{4}dt = \sqrt{\pi^2 + 4}\;(4 - 1) = 3\,\sqrt{\pi^2 + 4}.

Resposta

O comprimento da curva é 3\sqrt{\pi^2 + 4}.

Exercícios relacionados