Questão 11 - Determine o comprimento da curva dada:
\vec{r}(t)=\left(\frac{\cos (t)}{t^{2}}, \frac{\operatorname{sen}(t)}{t^{2}}\right),[1,+\infty).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva \vec{r}(t)=\bigl(\tfrac{\cos t}{t^{2}},\tfrac{\operatorname{sen} t}{t^{2}}\bigr), com t\in[1,\infty).
O conteúdo aqui é o comprimento de arco de uma curva paramétrica no plano, usando a fórmula
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Primeiro vamos derivar cada componente de \vec{r}(t).
Para \displaystyle x(t)=\frac{\cos t}{t^{2}}
temos
x'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(\cos t\cdot t^{-2}\bigr) =-\sin t\cdot t^{-2}+ \cos t\cdot(-2)\,t^{-3} =-\frac{\sin t}{t^{2}}-\frac{2\cos t}{t^{3}}.
Para \displaystyle y(t)=\frac{\operatorname{sen} t}{t^{2}}
temos
y'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{sen} t\cdot t^{-2}\bigr) =\cos t\cdot t^{-2}+\operatorname{sen} t\cdot(-2)\,t^{-3} =\frac{\cos t}{t^{2}}-\frac{2\operatorname{sen} t}{t^{3}}.

Passo 3

Agora calculamos o módulo do vetor derivada:
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|^2 =\Bigl(-\frac{\sin t}{t^{2}}-\frac{2\cos t}{t^{3}}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\cos t}{t^{2}}-\frac{2\operatorname{sen} t}{t^{3}}\Bigr)^{2}.
Expandindo e somando os termos, nota-se que os produtos mistos se cancelam e sobra
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|^2 =\frac{t^{2}+4}{t^{6}} \;\;\Longrightarrow\;\; \bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| =\frac{\sqrt{t^{2}+4}}{t^{3}}.

Passo 4

O comprimento de arco é
L =\int_{1}^{\infty}\frac{\sqrt{t^{2}+4}}{t^{3}}\,dt.
Para calcular essa integral, fazemos a substituição trigonométrica
t=2\tan\theta, \quad dt=2\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta.
Nesse caso
\sqrt{t^{2}+4} =\sqrt{4\tan^2\theta+4} =2\operatorname{sec}\theta,
e
t^{3}=(2\tan\theta)^{3}=8\tan^3\theta.

Passo 5

Mudando os limites:
quando t=1, \tan\theta_1=\tfrac12 então \theta_1=\arctan\tfrac12;
quando t\to\infty, \theta\to\frac{\pi}{2}.
A integral vira
L =\int_{\theta_1}^{\pi/2} \frac{2\operatorname{sec}\theta}{8\tan^3\theta}\cdot2\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta =\tfrac12\int_{\theta_1}^{\pi/2}\csc^3\theta\,d\theta.

Passo 6

Usamos a primitiva conhecida
\int\csc^3\theta\,d\theta =-\tfrac12\,\csc\theta\cot\theta +\tfrac12\ln\bigl|\csc\theta-\cot\theta\bigr| +C.
Logo
L =\tfrac12\Bigl[ -\tfrac12\,\csc\theta\cot\theta +\tfrac12\ln\bigl|\csc\theta-\cot\theta\bigr| \Bigr]_{\theta_1}^{\pi/2}.
Em \theta=\pi/2 tudo zera. Em \theta_1 temos \tan\theta_1=\tfrac12, logo \sin\theta_1=\tfrac{1}{\sqrt5}, \cos\theta_1=\tfrac{2}{\sqrt5}, \csc\theta_1=\sqrt5, \cot\theta_1=2.
Substituindo e simplificando usando \sqrt5-2=(\sqrt5+2)^{-1}, obtemos
L =\frac{\sqrt5}{2} +\frac{1}{4}\ln\bigl(\sqrt5+2\bigr).

Resposta

L =\frac{\sqrt5}{2} +\frac{1}{4}\ln\bigl(\sqrt5+2\bigr).

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