Questão 11 - Determine o comprimento da curva dada: \vec{r}(t)=\left(\frac{\cos (t)}{t^{2}}, \frac{\operatorname{sen}(t)}{t^{2}}\right),[1,+\infty).
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva \vec{r}(t)=\bigl(\tfrac{\cos t}{t^{2}},\tfrac{\operatorname{sen} t}{t^{2}}\bigr), com t\in[1,\infty).
O conteúdo aqui é o comprimento de arco de uma curva paramétrica no plano, usando a fórmula
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.
Passo 2
Primeiro vamos derivar cada componente de \vec{r}(t).
Para \displaystyle x(t)=\frac{\cos t}{t^{2}}
temos
Mudando os limites:
quando t=1, \tan\theta_1=\tfrac12 então \theta_1=\arctan\tfrac12;
quando t\to\infty, \theta\to\frac{\pi}{2}.
A integral vira
L =\int_{\theta_1}^{\pi/2} \frac{2\operatorname{sec}\theta}{8\tan^3\theta}\cdot2\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta =\tfrac12\int_{\theta_1}^{\pi/2}\csc^3\theta\,d\theta.
L =\tfrac12\Bigl[ -\tfrac12\,\csc\theta\cot\theta +\tfrac12\ln\bigl|\csc\theta-\cot\theta\bigr| \Bigr]_{\theta_1}^{\pi/2}.
Em \theta=\pi/2 tudo zera. Em \theta_1 temos \tan\theta_1=\tfrac12, logo \sin\theta_1=\tfrac{1}{\sqrt5}, \cos\theta_1=\tfrac{2}{\sqrt5}, \csc\theta_1=\sqrt5, \cot\theta_1=2.
Substituindo e simplificando usando \sqrt5-2=(\sqrt5+2)^{-1}, obtemos
L =\frac{\sqrt5}{2} +\frac{1}{4}\ln\bigl(\sqrt5+2\bigr).
Resposta
L =\frac{\sqrt5}{2} +\frac{1}{4}\ln\bigl(\sqrt5+2\bigr).