Questão 2 - Seja f\) a função definida por \[f: \begin{cases}x^{2}+y^{2}, & \text { se, } \quad x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\\ 0 & \text { se, } \quad x^{2}+y^{2}>1\end{cases}
Mostre que:
(a) f\] é contínua nos pontos \(\left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} tais que x_{0}^{2}+y_{0}^{2} \neq 1.
(b) f é descontínua nos pontos \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} tais que x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} x^{2}+y^{2}, & \text{se }x^{2}+y^{2}\le1,\\\\ 0, & \text{se }x^{2}+y^{2}>1, \end{cases}
e pede para mostrar que
(a) f é contínua em todo (x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\neq1,
(b) f é descontínua em todo (x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1.
O conteúdo usado será a definição de continuidade em \mathbb{R}^{2} e a construção de vizinhanças onde f coincide com uma função contínua ou é constante.

Passo 2

Suponha x_{0}^{2}+y_{0}^{2}<1. Então \rho=1-(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})>0. Se \|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|<\delta\le\rho/2, temos
|x^{2}+y^{2}-(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})| \le |x-x_{0}|\cdot|x+x_{0}| + |y-y_{0}|\cdot|y+y_{0}| <\delta\bigl(|x+x_{0}|+|y+y_{0}|\bigr).
Para \delta pequeno, isso garante x^{2}+y^{2}<1, logo nessa vizinhança f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Como a função g(x,y)=x^{2}+y^{2} é polinomial, ela é contínua, e portanto
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}g(x,y) =g(x_{0},y_{0}) =f(x_{0},y_{0}).
Isto mostra que f é contínua em qualquer ponto interno ao círculo x^{2}+y^{2}=1.

Passo 3

Suponha x_{0}^{2}+y_{0}^{2}>1. Então \rho=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-1>0. Para \delta\le\rho/2, se \|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|<\delta segue que x^{2}+y^{2}>1, pois
|x^{2}+y^{2}-(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})|<\rho/2 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}>x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-\rho/2>1.
Nessa vizinhança f(x,y)=0 é constante. Logo
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y)=0=f(x_{0},y_{0}),
e f é contínua em qualquer ponto externo ao círculo x^{2}+y^{2}=1.

Passo 4

Agora tome (x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1. Considere duas sequências que tendem a (x_{0},y_{0}):
(x_{n},y_{n})=\Bigl(1-\tfrac1n\Bigr)(x_{0},y_{0}), \quad (x'_{n},y'_{n})=\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)(x_{0},y_{0}).
Para n grande, (x_{n},y_{n}) fica dentro do disco, então
f(x_{n},y_{n}) =(1-\tfrac1n)^{2}(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}) =(1-\tfrac1n)^{2}\to1.
(x'_{n},y'_{n}) fica fora do disco, logo
f(x'_{n},y'_{n})=0\quad\text{para todo }n,
e esse valor tende a 0. Como os dois limites são diferentes, não existe \lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y), isto é, f é descontínua em qualquer ponto da fronteira x^{2}+y^{2}=1.

Resposta

(a) f é contínua para todo (x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\neq1.
(b) f é descontínua para todo (x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1.

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