e pede para mostrar que
(a) f é contínua em todo (x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\neq1,
(b) f é descontínua em todo (x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1.
O conteúdo usado será a definição de continuidade em \mathbb{R}^{2} e a construção de vizinhanças onde f coincide com uma função contínua ou é constante.
Passo 2
Suponha x_{0}^{2}+y_{0}^{2}<1. Então \rho=1-(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})>0. Se \|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|<\delta\le\rho/2, temos
Para \delta pequeno, isso garante x^{2}+y^{2}<1, logo nessa vizinhança f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Como a função g(x,y)=x^{2}+y^{2} é polinomial, ela é contínua, e portanto
Isto mostra que f é contínua em qualquer ponto interno ao círculo x^{2}+y^{2}=1.
Passo 3
Suponha x_{0}^{2}+y_{0}^{2}>1. Então \rho=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-1>0. Para \delta\le\rho/2, se \|(x,y)-(x_{0},y_{0})\|<\delta segue que x^{2}+y^{2}>1, pois
e esse valor tende a 0. Como os dois limites são diferentes, não existe \lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y), isto é, f é descontínua em qualquer ponto da fronteira x^{2}+y^{2}=1.
Resposta
(a) f é contínua para todo (x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\neq1.
(b) f é descontínua para todo (x_{0},y_{0}) com x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1.