Questão 12 (ITA-2002). Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que A B=A e B A=B. Então \left[(A+B)^{t}\right]^{2} é igual a:
a) (A+B)^{2}
b) 2\left(A^{t} B^{t}\right)
c) 2\left(A^{t}+B^{t}\right)
d) A^{t}+B^{t}
e) A^{t} B^{t}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem n com as relações
A B = A \qquad\text{e}\qquad B A = B.
A pergunta é: calcular explicitamente \left[(A+B)^{t}\right]^{2} e escolher qual das alternativas (a)–(e) é correta.
Vou anotar claramente o que temos de usar imediatamente:
  • A propriedade do transposto de um produto: \,(X Y)^{t}=Y^{t} X^{t}\,.
  • A propriedade do transposto de soma: \,(X+Y)^{t}=X^{t}+Y^{t}\,.
    Não começo a resolver ainda; apenas deixei o que foi dado e o que vou usar.

Passo 2

Aplicar a propriedade do transposto à soma para escrever \left(A+B\right)^{t}. Usando \,(X+Y)^{t}=X^{t}+Y^{t}\, obtemos
\left(A+B\right)^{t}=A^{t}+B^{t}.
Logo
\left[(A+B)^{t}\right]^{2}=(A^{t}+B^{t})^{2}.
Agora vou desenvolver (A^{t}+B^{t})^{2} por expansão usual de quadrado de soma.

Passo 3

Expandir (A^{t}+B^{t})^{2} usando distributividade:
(A^{t}+B^{t})^{2}=A^{t}A^{t}+A^{t}B^{t}+B^{t}A^{t}+B^{t}B^{t}.
Para simplificar esses termos, uso as relações do enunciado aplicadas ao transposto. Transpõe-se A B=A e B A=B:
(AB)^{t}=A^{t}B^{t}=A^{t} \qquad\text{e}\qquad (BA)^{t}=B^{t}A^{t}=B^{t}.
Atenção: aqui há inversão da ordem dentro do transposto, por isso as igualdades ficam como acima.

Passo 4

Substituir A^{t}B^{t} e B^{t}A^{t} na expansão do passo anterior. Pelas igualdades obtidas:
A^{t}B^{t}=B^{t} \qquad\text{e}\qquad B^{t}A^{t}=A^{t}.
Substituindo em (A^{t}+B^{t})^{2}
(A^{t}+B^{t})^{2}=A^{t}A^{t}+B^{t}+A^{t}+B^{t}B^{t}.
Agora preciso simplificar os termos A^{t}A^{t} e B^{t}B^{t}. Vou mostrar que A^{t} e B^{t} são idempotentes, isto é, A^{t}A^{t}=A^{t} e B^{t}B^{t}=B^{t}.

Passo 5

Provar que B^{t} é idempotente. Parto de A^{t}B^{t}=B^{t} (obtido no passo 3). Multiplico essa igualdade à esquerda por B^{t}:
B^{t}(A^{t}B^{t})=B^{t}B^{t}.
Pela associatividade, a esquerda é (B^{t}A^{t})B^{t}. Mas de B^{t}A^{t}=A^{t} (passo 3) segue que (B^{t}A^{t})B^{t}=A^{t}B^{t}. E novamente A^{t}B^{t}=B^{t}. Logo a esquerda vale B^{t}. Assim
B^{t}=B^{t}B^{t},
ou seja,
B^{t}B^{t}=B^{t}.

Passo 6

Provar que A^{t} é idempotente. Parto de B^{t}A^{t}=A^{t}. Multiplico essa igualdade à direita por A^{t}:
(B^{t}A^{t})A^{t}=A^{t}A^{t}.
Pela associatividade, a esquerda é B^{t}(A^{t}A^{t}). Mas uso a igualdade A^{t}B^{t}=B^{t} e multiplico essa igualdade por A^{t} à direita:
(A^{t}B^{t})A^{t}=B^{t}A^{t}.
A esquerda é A^{t}(B^{t}A^{t}) e, como B^{t}A^{t}=A^{t}, obtemos A^{t}A^{t}=B^{t}A^{t}. Porém B^{t}A^{t}=A^{t}, portanto A^{t}A^{t}=A^{t}. (Uma forma mais direta, que coincide com esses passos encadeados, é observar que a manipulação análoga feita no passo anterior também fornece A^{t}A^{t}=A^{t}.) Assim concluímos
A^{t}A^{t}=A^{t}.

Passo 7

Usar as idempotências já demonstradas para simplificar a expansão do passo 4. Tínhamos
(A^{t}+B^{t})^{2}=A^{t}A^{t}+B^{t}+A^{t}+B^{t}B^{t}.
Substituindo A^{t}A^{t}=A^{t} e B^{t}B^{t}=B^{t} obtemos
(A^{t}+B^{t})^{2}=A^{t}+B^{t}+A^{t}+B^{t}=2\bigl(A^{t}+B^{t}\bigr).

Passo 8

Concluir o resultado pedido: lembrando que \left[(A+B)^{t}\right]^{2}=(A^{t}+B^{t})^{2}, a igualdade do passo 7 diz exatamente que
\left[(A+B)^{t}\right]^{2}=2\bigl(A^{t}+B^{t}\bigr).

Resposta

c) 2\left(A^{t}+B^{t}\right)

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