Questão 12 (ITA-2002). Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
tais que
e
. Então
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem
com as relações
A pergunta é: calcular explicitamente
e escolher qual das alternativas (a)–(e) é correta.
Vou anotar claramente o que temos de usar imediatamente:
Vou anotar claramente o que temos de usar imediatamente:
- A propriedade do transposto de um produto:
. - A propriedade do transposto de soma:
.
Não começo a resolver ainda; apenas deixei o que foi dado e o que vou usar.
Passo 2
Aplicar a propriedade do transposto à soma para escrever
. Usando
obtemos
Logo
Agora vou desenvolver
por expansão usual de quadrado de soma.
Passo 3
Expandir
usando distributividade:
Para simplificar esses termos, uso as relações do enunciado aplicadas ao transposto. Transpõe-se
e
:
Atenção: aqui há inversão da ordem dentro do transposto, por isso as igualdades ficam como acima.
Passo 4
Substituir
e
na expansão do passo anterior. Pelas igualdades obtidas:
Substituindo em
dá
Agora preciso simplificar os termos
e
. Vou mostrar que
e
são idempotentes, isto é,
e
.
Passo 5
Provar que
é idempotente. Parto de
(obtido no passo 3). Multiplico essa igualdade à esquerda por
:
Pela associatividade, a esquerda é
. Mas de
(passo 3) segue que
. E novamente
. Logo a esquerda vale
. Assim
ou seja,
Passo 6
Provar que
é idempotente. Parto de
. Multiplico essa igualdade à direita por
:
Pela associatividade, a esquerda é
. Mas uso a igualdade
e multiplico essa igualdade por
à direita:
A esquerda é
e, como
, obtemos
. Porém
, portanto
. (Uma forma mais direta, que coincide com esses passos encadeados, é observar que a manipulação análoga feita no passo anterior também fornece
.) Assim concluímos
Passo 7
Usar as idempotências já demonstradas para simplificar a expansão do passo 4. Tínhamos
Substituindo
e
obtemos
Passo 8
Concluir o resultado pedido: lembrando que
, a igualdade do passo 7 diz exatamente que
Resposta
c)