Questão 9. IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) Seja
o espaço vetorial dos polinômios de grau
. Considere o operador derivada
, dado por
. Mostre que
é uma transformação linear nilpotente e determine seu núcleo:
Passo 1
O enunciado dá o seguinte:
-
é o espaço vetorial dos polinômios de grau (sobre algum corpo, por exemplo ou ). - O operador
é a derivação, isto é, (a derivada de ).
O que se pede:
- Mostrar que
é uma transformação linear nilpotente, ou seja, provar que existe tal que . - Determinar o núcleo de
, isto é, .
Passo 2
Provar que
é linear (e entender por que isso é verdade).
- Pegue dois polinômios quaisquer
e escalares . - A derivada satisfaz a regra da linearidade: para qualquer função diferenciável vale
. - Escrevendo isso para o operador
temos
- Portanto
é linear por definição: preserva soma e multiplicação por escalar.
Comentário didático curto: a linearidade da derivada é uma propriedade básica que vem da definição de derivada termo a termo em um polinômio — a derivada age em cada monômio separadamente e os coeficientes saem multiplicando.
Passo 3
Mostrar que
é nilpotente, isto é, existe
com
.
- Trabalhe na base canônica dos polinômios
. - Para um monômio
com vale a regra básica
- Iterando a derivada
vezes (com ) obtém-se
- Se
então (porque chega-se a derivar um monômio constante). - Agora, como todo polinômio em
é combinação linear de monômios com grau , se escolhermos então para qualquer monômio com temos , logo . - Pela linearidade,
anula qualquer polinômio de . Assim
ou seja,
é nilpotente (tomando
).
Comentário útil: o raciocínio essencial é que cada derivada diminui o grau do polinômio em 1; após
derivações qualquer polinômio de grau
vira o polinômio zero.
Passo 4
Determinar o núcleo de
, isto é
.
- Escreva um polinômio genérico em
como
onde cada
é um coeficiente no corpo de escalares.
- Calcule a derivada termo a termo:
- Se
é o polinômio zero, todos os coeficientes na soma acima devem ser zero. Para cada obtemos a igualdade . - Como
é um inteiro não nulo, a condição implica (isto é válido sobre qualquer corpo, pois é um escalar não zero quando interpretado como ; em todo caso no contexto padrão de polinômios isso força para ). - Portanto só resta
possivelmente não nulo, e
i.e.,
é um polinômio constante.
- Conclusão:
que é um subespaço unidimensional de
.
Dica prática para prova: ao ver
em polinômios, já fica automático pensar que só constantes funcionam, porque qualquer monômio não-constante produz termo não nulo ao derivar.
Passo 5
Observação adicional (muito útil em provas e para compreensão): núcleos de potências de
.
- Para
vale
- Justificativa rápida: se
então . Reciprocamente, se então, olhando para os coeficientes como em Passo 4, os coeficientes de todos os termos de grau devem ser nulos, logo .
Essa observação mostra a cadeia crescente de núcleos típica de operadores nilpotentes: