Questão 9. IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada) Seja V o espaço vetorial dos polinômios de grau \leq n. Considere o operador derivada D: V \rightarrow V, dado por D(p)=p^{\prime}. Mostre que D é uma transformação linear nilpotente e determine seu núcleo:
D^{k}=0 \quad \text { para algum } k \in N

Passo 1

O enunciado dá o seguinte:
  • V é o espaço vetorial dos polinômios de grau \leq n (sobre algum corpo, por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  • O operador D:V\to V é a derivação, isto é, D(p)=p' (a derivada de p).
O que se pede:
  • Mostrar que D é uma transformação linear nilpotente, ou seja, provar que existe k\in\mathbb{N} tal que D^{k}=0.
  • Determinar o núcleo de D, isto é, \ker D=\{p\in V: D(p)=0\}.

Passo 2

Provar que D é linear (e entender por que isso é verdade).
  • Pegue dois polinômios quaisquer p,q\in V e escalares a,b.
  • A derivada satisfaz a regra da linearidade: para qualquer função diferenciável vale (a p + b q)' = a p' + b q'.
  • Escrevendo isso para o operador D temos
D(a p + b q) = (a p + b q)' = a p' + b q' = a D(p) + b D(q).
  • Portanto D é linear por definição: preserva soma e multiplicação por escalar.
Comentário didático curto: a linearidade da derivada é uma propriedade básica que vem da definição de derivada termo a termo em um polinômio — a derivada age em cada monômio separadamente e os coeficientes saem multiplicando.

Passo 3

Mostrar que D é nilpotente, isto é, existe k com D^{k}=0.
  • Trabalhe na base canônica dos polinômios \{1,x,x^{2},\dots,x^{n}\}.
  • Para um monômio \,x^{k} com k\ge 0 vale a regra básica
D(x^{k}) = k x^{k-1}.
  • Iterando a derivada m vezes (com m\le k) obtém-se
D^{m}(x^{k}) = k(k-1)(k-2)\cdots(k-m+1)\,x^{k-m}.
  • Se m>k então D^{m}(x^{k})=0 (porque chega-se a derivar um monômio constante).
  • Agora, como todo polinômio em V é combinação linear de monômios com grau \le n, se escolhermos m=n+1 então para qualquer monômio x^{k} com k\le n temos m=k+1>k, logo D^{n+1}(x^{k})=0.
  • Pela linearidade, D^{n+1} anula qualquer polinômio de V. Assim
D^{n+1}=0,
ou seja, D é nilpotente (tomando k=n+1).
Comentário útil: o raciocínio essencial é que cada derivada diminui o grau do polinômio em 1; após n+1 derivações qualquer polinômio de grau \le n vira o polinômio zero.

Passo 4

Determinar o núcleo de D, isto é \ker D=\{p\in V: p'=0\}.
  • Escreva um polinômio genérico em V como
p(x)=\sum_{j=0}^{n} a_{j} x^{j},
onde cada a_{j} é um coeficiente no corpo de escalares.
  • Calcule a derivada termo a termo:
p'(x)=\sum_{j=1}^{n} j a_{j} x^{j-1}.
  • Se p' é o polinômio zero, todos os coeficientes na soma acima devem ser zero. Para cada j\ge 1 obtemos a igualdade j a_{j}=0.
  • Como j é um inteiro não nulo, a condição j a_{j}=0 implica a_{j}=0 (isto é válido sobre qualquer corpo, pois j é um escalar não zero quando interpretado como 1+1+\cdots+1; em todo caso no contexto padrão de polinômios isso força a_j=0 para j\ge1).
  • Portanto só resta a_{0} possivelmente não nulo, e
p(x)=a_{0},
i.e., p é um polinômio constante.
  • Conclusão:
\ker D = \{ \text{polinômios constantes} \} = \operatorname{span}\{1\},ô
que é um subespaço unidimensional de V.
Dica prática para prova: ao ver p'=0 em polinômios, já fica automático pensar que só constantes funcionam, porque qualquer monômio não-constante produz termo não nulo ao derivar.

Passo 5

Observação adicional (muito útil em provas e para compreensão): núcleos de potências de D.
  • Para 1\le k\le n+1 vale
\ker D^{k} = \{ \text{polinômios de grau } \le k-1\} = \operatorname{span}\{1,x,\dots,x^{k-1}\}.ô
  • Justificativa rápida: se \deg p\le k-1 então D^{k}p=0. Reciprocamente, se D^{k}p=0 então, olhando para os coeficientes como em Passo 4, os coeficientes de todos os termos de grau \ge k devem ser nulos, logo \deg p\le k-1.
Essa observação mostra a cadeia crescente de núcleos típica de operadores nilpotentes:
\{0\}=\ker D^{0}\subset \ker D \subset \ker D^{2}\subset\cdots\subset \ker D^{n+1}=V.

Resposta

D é linear e nilpotente, com D^{n+1}=0.\n \ker D=\{ \text{polinômios constantes} \}=\operatorname{span}\{1\}ô.

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