Questão 3 Considere a função f(x)=3 x+\sin x. É correto afirmar que
(A) A equação f(x)=0 possui infinitas soluções reais.
(B) f é estritamente decrescente em \mathbb{R}.
(C) f possui ao menos um ponto crítico.
(D) A equação f(x)=0 possui uma única solução real.
(E) f é uma função limitada.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = 3x + \sin(x)
e pede para verificar qual das afirmações sobre número de soluções de f(x)=0, monotonicidade, existência de ponto crítico e se é limitada está correta. Para resolver, vamos precisar de cálculo de derivada (para monotonicidade e pontos críticos), limites no infinito (para número de raízes) e análise de limitado/infinito.

Passo 2

Calculemos a derivada e usemos-na para ver monotonicidade e pontos críticos.
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(3x + \sin(x)\bigr) = 3 + \cos(x).
Como \cos(x)\in[-1,1], temos
f'(x)\in[3-1,\;3+1] = [2,4].
Logo f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Isso significa que
  1. f é estritamente crescente em \mathbb{R},
  2. não existe x tal que f'(x)=0, ou seja, não há pontos críticos.

Passo 3

Como f é contínua e estritamente crescente, e ainda
\lim_{x\to -\infty}f(x) = -\infty,\qquad \lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty,
pelo Teorema do Valor Intermediário existe exatamente uma raiz de f(x)=0.

Passo 4

Para verificar se f é limitada, basta notar que o termo dominante é 3x. Quando x\to\pm\infty, 3x faz f(x)\to\pm\infty. Portanto f não é limitada.

Resposta

(D) A equação f(x)=0 possui uma única solução real.

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