Questão 3 Considere a função
. É correto afirmar que
(A) A equação
possui infinitas soluções reais.
(B)
é estritamente decrescente em
.
(C)
possui ao menos um ponto crítico.
(D) A equação
possui uma única solução real.
(E)
é uma função limitada.
(A) A equação
(B)
(C)
(D) A equação
(E)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar qual das afirmações sobre número de soluções de
, monotonicidade, existência de ponto crítico e se é limitada está correta. Para resolver, vamos precisar de cálculo de derivada (para monotonicidade e pontos críticos), limites no infinito (para número de raízes) e análise de limitado/infinito.
Passo 2
Calculemos a derivada e usemos-na para ver monotonicidade e pontos críticos.
Como
, temos
Logo
para todo
. Isso significa que
-
é estritamente crescente em , - não existe
tal que , ou seja, não há pontos críticos.
Passo 3
Como
é contínua e estritamente crescente, e ainda
pelo Teorema do Valor Intermediário existe exatamente uma raiz de
.
Passo 4
Para verificar se
é limitada, basta notar que o termo dominante é
. Quando
,
faz
. Portanto
não é limitada.
Resposta
(D) A equação
possui uma única solução real.