Questão 11: Uma máquina de massa 200 kg é excitada harmonicamente por uma força de 100 N a 10 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. A rigidez da máquina é 20.000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Projete um absorvedor para limitar o movimento da máquina o máximo possível na faixa de frequências de 8 a 12 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
Devido a limitações de projeto, o valor máximo que a massa do absorvedor pode ter é de 50 kg .

Passo 1

O enunciado dá uma massa principal m_{1}=200\\ \mathrm{kg}, rigidez k_{1}=20\,000\\ \mathrm{N/m} e pede um absorvedor de massa m_{2}\le50\\ \mathrm{kg} que limite ao máximo o deslocamento na faixa de frequências \omega\in[8,12]\\ \mathrm{rad/s}. O sistema sem amortecimento tem frequência natural
\omega_{1}=\sqrt{\frac{k_{1}}{m_{1}}} =\sqrt{\frac{20\,000}{200}} =10\\ \mathrm{rad/s}.
Para projetar o absorvedor usaremos o critério de Den Hartog para um TMD sem amortecimento, que dá a sintonia ótima fazendo nascer dois picos iguais nos extremos da banda desejada.

Passo 2

Escolhemos a massa do absorvedor em seu valor máximo permitido, isto é
m_{2}=50\\ \mathrm{kg}.
Definimos a razão de massas
\mu=\frac{m_{2}}{m_{1}} =\frac{50}{200} =0{,}25.

Passo 3

Pelo critério de Den Hartog, a frequência natural do absorvedor deve ser
\omega_{a} =\omega_{1}\,\frac{1}{\sqrt{1+\mu}} =10\cdot\frac{1}{\sqrt{1{,}25}} \approx8{,}944\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Dessa frequência resulta a rigidez do absorvedor:
k_{2} =m_{2}\,\omega_{a}^{2} =50\cdot(8{,}944)^{2} \approx50\cdot80 =4\,000\\ \mathrm{N/m}.

Resposta

A massa do absorvedor deve ser m_{2}=50\\ \mathrm{kg} e sua rigidez k_{2}\approx4\,000\\ \mathrm{N/m}.

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