Seja f(x, y)=2 x e^{x^{2}-3 y^{2}} Calcule f_{x}, f_{y}, f_{x x}, f_{y y}, f_{x y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=2x\,e^{x^{2}-3y^{2}}.
Para isso vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos f_{x}. Tomando derivada de 2x e de e^{x^{2}-3y^{2}} em relação a x, temos
f_{x} =\frac{\partial}{\partial x}(2x)\,e^{x^{2}-3y^{2}} +2x\,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x^{2}-3y^{2}}\bigr) =2\,e^{x^{2}-3y^{2}}+2x\bigl(2x\,e^{x^{2}-3y^{2}}\bigr) =(2+4x^{2})e^{x^{2}-3y^{2}}.

Passo 3

Calculamos f_{y}. A única dependência em y está no expoente:
f_{y} =2x\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x^{2}-3y^{2}}\bigr) =2x\bigl(e^{x^{2}-3y^{2}}\cdot(-6y)\bigr) =-12xy\,e^{x^{2}-3y^{2}}.

Passo 4

Agora f_{xx}. Partimos de f_{x}=(2+4x^{2})e^{x^{2}-3y^{2}}. Seja g(x)=2+4x^{2} e h(x)=e^{x^{2}-3y^{2}}. Então
g'(x)=8x, \quad h'(x)=2x\,e^{x^{2}-3y^{2}},
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f_{xx} =g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x) =8x\,e^{x^{2}-3y^{2}}+(2+4x^{2})(2x\,e^{x^{2}-3y^{2}}) =(8x+4x+8x^{3})e^{x^{2}-3y^{2}} =(12x+8x^{3})e^{x^{2}-3y^{2}}.

Passo 5

Em seguida f_{xy}. Derivando f_{x}=(2+4x^{2})e^{x^{2}-3y^{2}} em relação a y, só o fator exponencial contribui:
f_{xy} =(2+4x^{2})\bigl(e^{x^{2}-3y^{2}}\cdot(-6y)\bigr) =-6y(2+4x^{2})\,e^{x^{2}-3y^{2}}.

Passo 6

Por fim f_{yy}. Partimos de f_{y}=-12x\,y\,e^{x^{2}-3y^{2}}. Seja a(y)=-12x\,y e b(y)=e^{x^{2}-3y^{2}}. Então
a'(y)=-12x, \quad b'(y)=-6y\,e^{x^{2}-3y^{2}},
e
f_{yy} =a'(y)\,b(y)+a(y)\,b'(y) =-12x\,e^{x^{2}-3y^{2}} +(-12x\,y)(-6y)\,e^{x^{2}-3y^{2}} =\bigl(-12x+72x\,y^{2}\bigr)e^{x^{2}-3y^{2}} =12x(6y^{2}-1)e^{x^{2}-3y^{2}}.

Resposta

f_{x}=(2+4x^{2})e^{x^{2}-3y^{2}}
f_{y}=-12xy\,e^{x^{2}-3y^{2}}
f_{xx}=(12x+8x^{3})e^{x^{2}-3y^{2}}
f_{xy}=-6y(2+4x^{2})\,e^{x^{2}-3y^{2}}
f_{yy}=12x(6y^{2}-1)e^{x^{2}-3y^{2}}

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