Questão 14. Joãozinho completou 8 anos de idade e no seu aniversário não ganhou mais que 9 brinquedos iguais. Todo dia ele brinca com seus brinquedos e no final sua mãe obriga-o a guardá-los, para isso, ele dispõe de 4 caixas, cada uma com capacidade para guardar todos os brinquedos. De quantos modos Joãozinho pode guardar os seus brinquedos?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Informações do enunciado:
- Joãozinho recebeu brinquedos idênticos (o enunciado diz “iguais”).
- Ele não ganhou mais que 9 brinquedos, ou seja, o número total de brinquedos é um número inteiro
com (vou explicar depois a alternativa caso se exija ). - Há
caixas distintas (cada caixa é identificável) e cada caixa tem capacidade para guardar todos os brinquedos (ou seja, não há limite por caixa).
- O que o enunciado pede:
- Determinar de quantos modos Joãozinho pode guardar os seus brinquedos nas
caixas, levando em conta que os brinquedos são idênticos e as caixas são distintas.
- Determinar de quantos modos Joãozinho pode guardar os seus brinquedos nas
Passo 2
Modelagem do problema e ideia geral (sem fórmulas ainda).
- Quando os objetos são idênticos e as caixas são distintas, uma forma natural de modelar é: escrever
como os números de brinquedos guardados, respectivamente, nas caixas . - Esses números são inteiros não-negativos e satisfazem
onde
é o número total de brinquedos que Joãozinho tem.
- Para um
fixo, o problema se reduz a contar soluções em inteiros não-negativos da equação acima. Esse é um problema clássico que se resolve com o método “estrelas e barras” (stars and bars). Vou ensinar esse método passo a passo.
Passo 3
Explicação detalhada do método “estrelas e barras” (para
fixo).
- Interpretação visual: cada brinquedo é representado por uma “estrela” (
). Para dividir as entre as quatro caixas colocamos três “barras” ( ) que separam as caixas. - Exemplo pequeno: se
e a distribuição for , podemos representar como
- Em geral, teremos
estrelas e barras. O arranjo linear de estrelas e barras determina univocamente a distribuição . - Então o número de distribuições para um
fixo é o número de maneiras de ordenar estrelas e barras, isto é, o número de escolhas de posições das 3 barras entre as posições disponíveis. - Portanto, para cada
fixo, o número de modos é
Aqui
é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras escolher 3 posições (as barras) entre
posições; equivalente também a escolher os
posições das estrelas.
Passo 4
Agora somamos sobre todas as possibilidades de
que Joãozinho pode ter recebido.
- Pelo enunciado assumimos que
pode ser qualquer inteiro de até . Para cada há distribuições. - Logo o número total de modos possíveis (contando todas as possíveis quantidades de brinquedos até
) é
- Usamos agora a identidade do “Hockey-stick” (uma propriedade dos coeficientes binomiais) que diz, para inteiros
,
- Tomando
e obtemos
Passo 5
Cálculo numérico do coeficiente binomial final.
- Calculemos
:
- Simplificando:
Podemos simplificar
, ficando
- Logo, somando todas as possibilidades de
de a , existem modos.
Passo 6
Observação importante sobre a interpretação (caso se exija que Joãozinho tenha recebido pelo menos um brinquedo).
- Se a interpretação exigisse que Joãozinho recebeu pelo menos um brinquedo (isto é,
), então devemos retirar o caso (todas as caixas vazias), que corresponde a modo. - Nesse caso o total seria
Resposta
Se for permitido
(ou seja, considerar todas as quantidades de brinquedos de
a
):
Se for exigido que Joãozinho tenha recebido pelo menos
brinquedo (ou seja,
):