Questão 14. Joãozinho completou 8 anos de idade e no seu aniversário não ganhou mais que 9 brinquedos iguais. Todo dia ele brinca com seus brinquedos e no final sua mãe obriga-o a guardá-los, para isso, ele dispõe de 4 caixas, cada uma com capacidade para guardar todos os brinquedos. De quantos modos Joãozinho pode guardar os seus brinquedos?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Informações do enunciado:
    • Joãozinho recebeu brinquedos idênticos (o enunciado diz “iguais”).
    • Ele não ganhou mais que 9 brinquedos, ou seja, o número total de brinquedos é um número inteiro n com 0\le n\le 9 (vou explicar depois a alternativa caso se exija n\ge 1).
    • 4 caixas distintas (cada caixa é identificável) e cada caixa tem capacidade para guardar todos os brinquedos (ou seja, não há limite por caixa).
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar de quantos modos Joãozinho pode guardar os seus brinquedos nas 4 caixas, levando em conta que os brinquedos são idênticos e as caixas são distintas.

Passo 2

Modelagem do problema e ideia geral (sem fórmulas ainda).
  • Quando os objetos são idênticos e as caixas são distintas, uma forma natural de modelar é: escrever x_1,x_2,x_3,x_4 como os números de brinquedos guardados, respectivamente, nas caixas 1,2,3,4.
  • Esses números são inteiros não-negativos e satisfazem
x_1+x_2+x_3+x_4 = n,
onde n é o número total de brinquedos que Joãozinho tem.
  • Para um n fixo, o problema se reduz a contar soluções em inteiros não-negativos da equação acima. Esse é um problema clássico que se resolve com o método “estrelas e barras” (stars and bars). Vou ensinar esse método passo a passo.

Passo 3

Explicação detalhada do método “estrelas e barras” (para n fixo).
  • Interpretação visual: cada brinquedo é representado por uma “estrela” ( \ast). Para dividir as \ast entre as quatro caixas colocamos três “barras” ( |) que separam as caixas.
  • Exemplo pequeno: se n=5 e a distribuição for (2,0,1,2), podemos representar como
\ast\ast \; | \; \; | \; \ast \; | \; \ast\ast.
  • Em geral, teremos n estrelas e 3 barras. O arranjo linear de n estrelas e 3 barras determina univocamente a distribuição (x_1,x_2,x_3,x_4).
  • Então o número de distribuições para um n fixo é o número de maneiras de ordenar n estrelas e 3 barras, isto é, o número de escolhas de posições das 3 barras entre as n+3 posições disponíveis.
  • Portanto, para cada n fixo, o número de modos é
\binom{n+3}{3}.
Aqui \binom{n+3}{3} é o coeficiente binomial que conta de quantas maneiras escolher 3 posições (as barras) entre n+3 posições; equivalente também a escolher os n posições das estrelas.

Passo 4

Agora somamos sobre todas as possibilidades de n que Joãozinho pode ter recebido.
  • Pelo enunciado assumimos que n pode ser qualquer inteiro de 0 até 9. Para cada n \binom{n+3}{3} distribuições.
  • Logo o número total de modos possíveis (contando todas as possíveis quantidades de brinquedos até 9) é
\sum_{n=0}^{9} \binom{n+3}{3}.
  • Usamos agora a identidade do “Hockey-stick” (uma propriedade dos coeficientes binomiais) que diz, para inteiros m,k\ge 0,
\sum_{n=0}^{m} \binom{n+k}{k} = \binom{m+k+1}{k+1}.
  • Tomando k=3 e m=9 obtemos
\sum_{n=0}^{9} \binom{n+3}{3} = \binom{9+3+1}{3+1} = \binom{13}{4}.

Passo 5

Cálculo numérico do coeficiente binomial final.
  • Calculemos \binom{13}{4}:
\binom{13}{4} = \frac{13\cdot12\cdot11\cdot10}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
  • Simplificando:
\frac{13\cdot12\cdot11\cdot10}{24} = \frac{13\cdot11\cdot10\cdot12}{24}.
Podemos simplificar 12/24=1/2, ficando
\frac{13\cdot11\cdot10}{2} = 13\cdot11\cdot5 = 13\cdot55 = 715.
  • Logo, somando todas as possibilidades de n de 0 a 9, existem 715 modos.

Passo 6

Observação importante sobre a interpretação (caso se exija que Joãozinho tenha recebido pelo menos um brinquedo).
  • Se a interpretação exigisse que Joãozinho recebeu pelo menos um brinquedo (isto é, 1\le n\le 9), então devemos retirar o caso n=0 (todas as caixas vazias), que corresponde a \binom{0+3}{3}=\binom{3}{3}=1 modo.
  • Nesse caso o total seria
\sum_{n=1}^{9} \binom{n+3}{3} = \binom{13}{4} - 1 = 715 - 1 = 714.

Resposta

Se for permitido n=0 (ou seja, considerar todas as quantidades de brinquedos de 0 a 9): 715
Se for exigido que Joãozinho tenha recebido pelo menos 1 brinquedo (ou seja, 1\le n\le9): 714

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