Questão 2 (11 pontos). Considere a integral dupla
integral duplaR (x-2 y) e^x-2 yx+2 y d A
onde R é a região delimitada pelas retas x=4-2 y, x=2 y-2, x+2 y=2 e x=2 y. Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis: u=x+2 y, v=x-2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla sobre uma região R delimitada por algumas retas, e a função que vamos integrar envolve x e y . O conteúdo principal aqui é cálculo de integrais duplas usando mudança de variáveis. Vamos precisar fazer uma transformação para novas coordenadas u e v e calcular o Jacobian dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis que a questão sugere:
u = x + 2y e v = x - 2y
Precisamos expressar x e y em termos de u e v . Resolvendo o sistema:
x = u + v2 e y = u - v4

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O Jacobiano J é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 14 & -14 = (12)(-14) - (12)(14) = -18 - 18 = -14
O valor absoluto do Jacobiano é |J| = 14 .

Passo 4

Agora, vamos determinar os novos limites de integração na região R em termos de u e v . As retas que delimitam R são:
x = 4 - 2y, x = 2y - 2, x + 2y = 2, e x = 2y
Substituindo u = x + 2y e v = x - 2y :
  • Para x = 4 - 2y :
u = x + 2y = 4
  • Para x = 2y - 2 :
v = x - 2y = -2
  • Para x + 2y = 2 :
u = 2
  • Para x = 2y :
v = 0
Então, u varia de 2 a 4 e v varia de -2 a 0.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral original em termos de u e v :
integral duplaR (x - 2y) e^x - 2yx + 2y , dA = integral duplaR' v e^vu cdot |14| , du , dv = 14 integralu=2^4 integralv=-2^0 v e^vu , dv , du

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a v :
integralv=-2^0 v e^v , dv
Sabemos que:
integral v e^v , dv = e^v(v - 1) + C
Então, avaliando de -2 a 0:
[ e^0(0 - 1) ] - [ e^-2(-2 - 1) ] = -1 + 3 e^-2
Portanto, a integral fica:
14 integral2^4 -1 + 3 e^-2u , du

Passo 7

Agora, integramos em relação a u :
integral2^4 1u , du = ln u |2^4 = ln 4 - ln 2 = ln 2
Portanto, a integral completa é:
14 ( -1 + 3 e^-2 ) ln 2

Resposta

A integral vale
, (3,e^-2 - 1), ln,2,,4,

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