onde R é a região delimitada pelas retas e . Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma integral dupla sobre uma região delimitada por algumas retas, e a função que vamos integrar envolve e . O conteúdo principal aqui é cálculo de integrais duplas usando mudança de variáveis. Vamos precisar fazer uma transformação para novas coordenadas e e calcular o Jacobian dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis que a questão sugere:
Precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo o sistema:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O Jacobiano é dado por:
O valor absoluto do Jacobiano é |J| = 14 .
Passo 4
Agora, vamos determinar os novos limites de integração na região R em termos de u e v . As retas que delimitam R são:
x = 4 - 2y, x = 2y - 2, x + 2y = 2, e x = 2y
Substituindo u = x + 2y e v = x - 2y :
Para x = 4 - 2y :
u = x + 2y = 4
Para x = 2y - 2 :
v = x - 2y = -2
Para x + 2y = 2 :
u = 2
Para x = 2y :
v = 0
Então, u varia de 2 a 4 e v varia de -2 a 0.
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral original em termos de u e v :
integral duplaR (x - 2y) e^x - 2yx + 2y , dA = integral duplaR' v e^vu cdot |14| , du , dv = 14 integralu=2^4 integralv=-2^0 v e^vu , dv , du
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a v :
integralv=-2^0 v e^v , dv
Sabemos que:
integral v e^v , dv = e^v(v - 1) + C
Então, avaliando de -2 a 0:
[ e^0(0 - 1) ] - [ e^-2(-2 - 1) ] = -1 + 3 e^-2
Portanto, a integral fica:
14 integral2^4 -1 + 3 e^-2u , du
Passo 7
Agora, integramos em relação a u :
integral2^4 1u , du = ln u |2^4 = ln 4 - ln 2 = ln 2