Questão 12. Sejam
e
conjuntos. Prove que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado nos dá três conjuntos
,
e
e as hipóteses:
-
. -
.
O que precisa ser provado:
- Mostrar que
, isto é, provar que e que .
Passo 2
Definições e ideias que vamos usar (explicadinhas, sem pular etapas):
- Dizemos
quando todo elemento de também pertence a . Formalmente: . - Dizemos
(subconjunto próprio) quando e . Uma forma útil e equivalente de dizer que é: e existe algum elemento de que não está em ; isto é, . - Estratégia típica para provar
: (i) provar usando transitividade de ; (ii) mostrar que existe um elemento em que não pertence a , usando o fato de que .
Passo 3
Provar que
.
Tomar um elemento arbitrário
. Como
, da definição de subconjunto vem que
. Como também sabemos (da hipótese) que
(lembre:
implica
), então
. Como o elemento
foi escolhido arbitrariamente, concluímos que todo elemento de
pertence a
. Portanto:
Comentário rápido: este é um uso direto da transitividade de
: se
e
então
.
Passo 4
Provar que
.
Da hipótese
sabemos que existe pelo menos um elemento de
que não está em
. Ou seja,
Pegue um tal elemento
(a existência é garantida pela hipótese). Como
, todo elemento de
está em
; isso implica que nenhum elemento de
que esteja fora de
pode estar em
. Em particular, como
e
, segue que
. Mas
. Assim encontramos um elemento
que pertence a
e não pertence a
. Portanto
e
não são iguais, isto é:
Passo 5
Conclusão final juntando os dois fatos.
De Passo 3 temos
. De Passo 4 temos
. Essas duas declarações juntas são exatamente a definição de subconjunto próprio. Logo:
Força aí — a prova é curta quando a gente organiza passo a passo: transitividade para incluir
em
e usar o elemento que está em
mas não em
(e portanto não em
) para garantir que a inclusão é estrita.