Questão 12. Sejam A, B e C conjuntos. Prove que:
Se A \subseteq B e B \subsetneq C, então A \subsetneq C.

Passo 1

O enunciado nos dá três conjuntos A, B e C e as hipóteses:
  • A \subseteq B.
  • B \subsetneq C.
O que precisa ser provado:
  • Mostrar que A \subsetneq C, isto é, provar que A \subseteq C e que A \neq C.

Passo 2

Definições e ideias que vamos usar (explicadinhas, sem pular etapas):
  • Dizemos X \subseteq Y quando todo elemento de X também pertence a Y. Formalmente: \forall x\,(x\in X \Rightarrow x\in Y).
  • Dizemos X \subsetneq Y (subconjunto próprio) quando X \subseteq Y e X \neq Y. Uma forma útil e equivalente de dizer que X \subsetneq Y é: X \subseteq Y e existe algum elemento de Y que não está em X; isto é, \exists y\,(y\in Y \land y\notin X).
  • Estratégia típica para provar A \subsetneq C: (i) provar A \subseteq C usando transitividade de \subseteq; (ii) mostrar que existe um elemento em C que não pertence a A, usando o fato de que B \subsetneq C.

Passo 3

Provar que A \subseteq C.
Tomar um elemento arbitrário a\in A. Como A \subseteq B, da definição de subconjunto vem que a\in B. Como também sabemos (da hipótese) que B \subseteq C (lembre: B \subsetneq C implica B \subseteq C), então a\in C. Como o elemento a\in A foi escolhido arbitrariamente, concluímos que todo elemento de A pertence a C. Portanto:
A \subseteq C.
Comentário rápido: este é um uso direto da transitividade de \subseteq: se A\subseteq B e B\subseteq C então A\subseteq C.

Passo 4

Provar que A \neq C.
Da hipótese B \subsetneq C sabemos que existe pelo menos um elemento de C que não está em B. Ou seja,
\exists x\,(x\in C \land x\notin B).
Pegue um tal elemento x (a existência é garantida pela hipótese). Como A \subseteq B, todo elemento de A está em B; isso implica que nenhum elemento de B que esteja fora de B pode estar em A. Em particular, como x\notin B e A\subseteq B, segue que x\notin A. Mas x\in C. Assim encontramos um elemento x que pertence a C e não pertence a A. Portanto A e C não são iguais, isto é:
A \neq C.

Passo 5

Conclusão final juntando os dois fatos.
De Passo 3 temos A \subseteq C. De Passo 4 temos A \neq C. Essas duas declarações juntas são exatamente a definição de subconjunto próprio. Logo:
A \subsetneq C.
Força aí — a prova é curta quando a gente organiza passo a passo: transitividade para incluir A em C e usar o elemento que está em C mas não em B (e portanto não em A) para garantir que a inclusão é estrita.

Resposta

A \subsetneq C

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