Resolva a equação diferencial dada.
d yd x=(2 y+34 x+5)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx = l(2y+34x+5r)^2
e pede a solução geral. Como o membro direito é produto de função só de y por função só de x, vamos usar separação de variáveis.

Passo 2

Separe as variáveis levando tudo que depende de y para o lado esquerdo e tudo que depende de x para o lado direito:
dy(2y+3)^2 ;=; dx(4x+5)^2

Passo 3

Integre ambos os lados.
Para o lado esquerdo, faça u=2y+3, logo du=2,dy e dy = tfracdu2:
integral dy(2y+3)^2 = integral tfracdu2u^2 = 12 integral u^-2du = -12u = -12(2y+3)
Para o lado direito, faça v=4x+5, logo dv=4,dx e dx = tfracdv4:
integral dx(4x+5)^2 = integral tfracdv4v^2 = 14 integral v^-2dv = -14v = -14(4x+5)

Passo 4

Igualando as integrais e incluindo a constante de integração C, obtemos
-12(2y+3) = -14(4x+5) + C
Multiplicando tudo por -1,
12(2y+3) = 14(4x+5) + C1,
onde C1=-C.

Passo 5

Isolando y: multiplique ambos os lados por 2,
12y+3 = 12(4x+5) + 2C1 = 18x+10 + C2,
com C2=2C1. Agora inverta,
2y+3 = 118x+10 + C2 = 8x+101 + C2(8x+10)
Logo
y(x) = 12l(8x+101 + C2(8x+10) - 3r),
onde C2 é constante arbitrária.

Resposta

y(x)=12l(8x+101 + C,(8x+10) - 3r),
sendo C a constante de integração.

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