Questão 11 Sabendo que a função f:[4,7] \rightarrow[n+1, m] dada por
f(x)=\frac{2 x-n}{x-3}, \text { com } n<6
é sobrejetora, determine \operatorname{Im}(f).

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Domínio: [4,7].
  • Contradomínio (indicado): [n+1,m].
  • Função: f(x)=\frac{2x-n}{x-3},\qquad n<6.
  • Informação importante: f é sobrejetora (ou seja, sua imagem coincide com o contradomínio).
O que o problema pede: determinar \operatorname{Im}(f) (a imagem efetiva da função), sabendo que f é sobrejetora.

Passo 2

Primeiro vamos estudar a monotonicidade de f em [4,7]. Como f é uma função racional com denominador x-3 que não se anula no intervalo [4,7] (pois x-3>0 para x\ge4), f é contínua em [4,7]. Calculamos f'(x) para ver se é crescente ou decrescente:
Calculemos a derivada usando a regra do quociente:
f(x)=\frac{2x-n}{x-3}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{(2)(x-3)-(2x-n)\cdot1}{(x-3)^2}.
Agora simplificamos o numerador:
(2)(x-3)-(2x-n)=2x-6-2x+n=n-6.
Portanto
f'(x)=\frac{n-6}{(x-3)^2}.

Passo 3

Analisando o sinal de f'(x): como (x-3)^2>0 em todo [4,7], o sinal de f'(x) é o sinal de n-6. O enunciado diz n<6, logo n-6<0 e portanto f'(x)<0 para todo x\in[4,7]. Conclusão: f é estritamente decrescente em [4,7].
Para uma função contínua e estritamente decrescente em um intervalo fechado, a imagem é o intervalo fechado entre os valores nos extremos, com o menor valor em x=7 e o maior em x=4. Assim
\operatorname{Im}(f)=[f(7),\,f(4)].

Passo 4

Calculemos f(4) e f(7):
f(4)=\frac{2\cdot4-n}{4-3}=\frac{8-n}{1}=8-n,
f(7)=\frac{2\cdot7-n}{7-3}=\frac{14-n}{4}.
Logo
\operatorname{Im}(f)=\left[\frac{14-n}{4},\,8-n\right].

Passo 5

Como o enunciado afirma que f é sobrejetora e o contradomínio dado é [n+1,m], a imagem (que acabamos de obter) deve coincidir com esse contradomínio. Portanto
[n+1,m]=\left[\frac{14-n}{4},\,8-n\right].
Isto implica igualdade dos extremos correspondentes:
n+1=\frac{14-n}{4} \qquad\text{e}\qquad m=8-n.
Resolvendo a primeira equação para n:
4(n+1)=14-n \quad\Rightarrow\quad 4n+4=14-n \quad\Rightarrow\quad 5n=10 \quad\Rightarrow\quad n=2.
Com n=2 obtemos
m=8-n=8-2=6.
Verificação rápida da condição inicial: n=2<6 está de acordo com a hipótese.

Passo 6

Substituindo n=2 na expressão da imagem obtida em passo 4,
\operatorname{Im}(f)=\left[\frac{14-2}{4},\,8-2\right]=\left[\frac{12}{4},\,6\right]=[3,6].
Assim a imagem coincide com o contradomínio [n+1,m]=[3,6] quando n=2 e m=6, compatível com a sobrejetividade exigida.

Resposta

\operatorname{Im}(f)=[3,6]

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