Questão 11 Sabendo que a função
dada por
é sobrejetora, determine
.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Domínio:
. - Contradomínio (indicado):
. - Função:
- Informação importante:
é sobrejetora (ou seja, sua imagem coincide com o contradomínio).
O que o problema pede: determinar
(a imagem efetiva da função), sabendo que
é sobrejetora.
Passo 2
Primeiro vamos estudar a monotonicidade de
em
. Como
é uma função racional com denominador
que não se anula no intervalo
(pois
para
),
é contínua em
. Calculamos
para ver se é crescente ou decrescente:
Calculemos a derivada usando a regra do quociente:
Agora simplificamos o numerador:
Portanto
Passo 3
Analisando o sinal de
: como
em todo
, o sinal de
é o sinal de
. O enunciado diz
, logo
e portanto
para todo
. Conclusão:
é estritamente decrescente em
.
Para uma função contínua e estritamente decrescente em um intervalo fechado, a imagem é o intervalo fechado entre os valores nos extremos, com o menor valor em
e o maior em
. Assim
Passo 4
Calculemos
e
:
Logo
Passo 5
Como o enunciado afirma que
é sobrejetora e o contradomínio dado é
, a imagem (que acabamos de obter) deve coincidir com esse contradomínio. Portanto
Isto implica igualdade dos extremos correspondentes:
Resolvendo a primeira equação para
:
Com
obtemos
Verificação rápida da condição inicial:
está de acordo com a hipótese.
Passo 6
Substituindo
na expressão da imagem obtida em passo 4,
Assim a imagem coincide com o contradomínio
quando
e
, compatível com a sobrejetividade exigida.