QUESTÃO 13. Calcular os valores extremos da função f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1 no intervalo [-2; 0,5].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores extremos (mínimo e máximo) de
f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1
no intervalo fechado [-2,\,0,5].
Para isso, vamos usar o método padrão de cálculo de extremos em intervalo:
  1. calcular a derivada f'(x);
  2. encontrar pontos críticos resolvendo f'(x)=0;
  3. avaliar f nos pontos críticos que caem no intervalo e também nos extremos do intervalo;
  4. comparar esses valores para determinar mínimo e máximo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=3x^{2}+2x-1.
Para achar os pontos críticos, resolvemos
3x^{2}+2x-1=0.
O discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16,
logo as raízes são
x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\cdot3} = \frac{-2 \pm 4}{6}.

Passo 3

As soluções são
x = \frac{-2+4}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}, \quad x = \frac{-2-4}{6}=-1.
Ambos pertencem ao intervalo [-2,\,0,5], portanto são pontos críticos válidos.

Passo 4

Agora avaliamos f em x=-2, x=-1, x=\tfrac{1}{3} e x=0,5:
Para x=-2:
f(-2)=(-2)^{3}+(-2)^{2}-(-2)+1=-8+4+2+1=-1.
Para x=-1:
f(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}-(-1)+1=-1+1+1+1=2.
Para x=\tfrac{1}{3}:
f\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) =\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{3}+\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{3}+1 =\frac{1}{27}+\frac{1}{9}-\frac{1}{3}+1 =\frac{1+3-9+27}{27} =\frac{22}{27}\approx0,8148.
Para x=0,5:
f(0,5)=(0,5)^{3}+(0,5)^{2}-(0,5)+1 =0,125+0,25-0,5+1=0,875.

Passo 5

Comparando os quatro valores:
f(-2)=-1,\quad f(-1)=2,\quad f\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)\approx0,8148,\quad f(0,5)=0,875,
vemos que o menor valor é -1 em x=-2 e o maior valor é 2 em x=-1.

Resposta

Mínimo de f em [-2,\,0,5]: -1 em x=-2.
Máximo de f em [-2,\,0,5]: 2 em x=-1.

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