Questão 6:

Calcule o volume de
W=\left\{(x, y, z) \left\lvert\, x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{3} \leq 1\right., z^{2} \leq x^{2}+y^{2}\right\} .
Resposta: 2 \pi / \sqrt{3}

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos.
  • O enunciado pede o volume do conjunto W.
  • O conjunto W é formado pelos pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades: x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{3}\leq 1,e z^{2}\leq x^{2}+y^{2}.
  • Informação implícita: as duas condições limitam z em função de x^{2}+y^{2}; há simetria em torno do eixo z (as desigualdades dependem apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2} e de z^{2}).
  • O que precisamos encontrar: o valor numérico do volume de W.

Passo 2

Ideia do método escolhido (explicação didática e motivação).
  • Como as desigualdades dependem de x^{2}+y^{2} e de z apenas por meio de z^{2}, há simetria circular em torno do eixo z. Isso sugere usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), que são muito úteis quando coisas dependem de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Em coordenadas cilíndricas as relações são: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,e o elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta.Explicando: o fator extra r aparece porque um anel de raio r e espessura dr tem comprimento lateral 2\pi r (ou diferencial r\,d\theta quando se integra em \theta).
  • Portanto vamos reescrever as desigualdades em função de r e z, e integrar r de 0 até o limite adequado, \theta de 0 a 2\pi, e z entre as duas curvas superiores/inferiores correspondentes.

Passo 3

Reescrever as desigualdades usando r^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • A primeira desigualdade fica r^{2}+\frac{z^{2}}{3}\leq 1 \quad\Longleftrightarrow\quad z^{2}\leq 3(1-r^{2}).
  • A segunda desigualdade fica z^{2}\leq r^{2}.
  • Assim, para um dado r fixo, o valor permitido de z^{2} deve obedecer simultaneamente z^{2}\leq r^{2} \quad\text{e}\quad z^{2}\leq 3(1-r^{2}).Ou seja, z^{2}\leq \min\bigl(r^{2},\,3(1-r^{2})\bigr).

Passo 4

Determinar para que valores de r a função mínima troca de ramo (ou seja, achar o ponto onde r^{2}=3(1-r^{2})).
  • Resolver r^{2}=3(1-r^{2})leva a r^{2}=3-3r^{2}\quad\Longrightarrow\quad 4r^{2}=3\quad\Longrightarrow\quad r^{2}=\frac{3}{4}.
  • Logo o ponto crítico é r=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Interpretação:
    • Para 0\leq r\leq \dfrac{\sqrt{3}}{2} tem-se r^{2}\leq 3(1-r^{2}), logo \min(r^{2},3(1-r^{2}))=r^{2} e então z^{2}\le r^{2} (ou seja |z|\le r).
    • Para \dfrac{\sqrt{3}}{2}\le r\le 1 (o raio máximo vem da primeira desigualdade quando z=0, que dá r^{2}\le1, logo r\le1), tem-se r^{2}\ge 3(1-r^{2}), logo \min=\;3(1-r^{2}) e então z^{2}\le 3(1-r^{2}) (ou seja |z|\le \sqrt{3(1-r^{2})}).

Passo 5

Escrever a integral de volume em coordenadas cilíndricas, separando os dois intervalos de r.
  • O volume é V=\int_{0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=-\sqrt{\min(r^{2},\,3(1-r^{2}))}}^{\sqrt{\min(r^{2},\,3(1-r^{2}))}} r\,dz\,dr\,d\theta.
  • Separando conforme a análise do passo anterior: V=\int_{0}^{2\pi}\left[\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \int_{z=-r}^{r} r\,dz\,dr \;+\; \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \int_{z=-\sqrt{3(1-r^{2})}}^{\sqrt{3(1-r^{2})}} r\,dz\,dr\right] d\theta.
  • Integrando primeiro em z (altura simétrica em torno de zero) cada pedaço dá a altura multiplicada por r:
    • Para 0\le r\le \dfrac{\sqrt{3}}{2} a altura em z é 2r, então o integrando fica r\cdot 2r = 2r^{2}.
    • Para \dfrac{\sqrt{3}}{2}\le r\le 1 a altura em z é 2\sqrt{3(1-r^{2})}, então o integrando fica r\cdot 2\sqrt{3(1-r^{2})}=2r\sqrt{3(1-r^{2})}.
  • Assim V=\int_{0}^{2\pi}\left[ \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} 2r^{2}\,dr \;+\; \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} 2r\sqrt{3(1-r^{2})}\,dr \right] d\theta.

Passo 6

Fatorar a integração em \theta e simplificar a expressão do volume.
  • A integral em \theta é simples e dá um fator 2\pi: V = 2\pi\left[ \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} 2r^{2}\,dr \;+\; \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} 2r\sqrt{3(1-r^{2})}\,dr \right].
  • Podemos retirar constantes: V = 2\pi\left[ 2\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} r^{2}\,dr \;+\; 2\sqrt{3}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr \right].

Passo 7

Calcular a primeira integral \displaystyle 2\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} r^{2}\,dr passo a passo.
  • A primitiva de r^{2} é \dfrac{r^{3}}{3}. Então 2\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} r^{2}\,dr =2\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} =2\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}.
  • Calcular \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}: \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}=\frac{(\sqrt{3})^{3}}{8}=\frac{3\sqrt{3}}{8}.
  • Portanto 2\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} r^{2}\,dr = 2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8} =2\cdot\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 8

Calcular a segunda integral \displaystyle 2\sqrt{3}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr usando substituição.
  • Faça a substituição u=1-r^{2}. Então du=-2r\,dr, ou seja r\,dr=-\dfrac{du}{2}.
  • Quando r=\dfrac{\sqrt{3}}{2} temos u=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}. Quando r=1 temos u=0.
  • A integral vira 2\sqrt{3}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr =2\sqrt{3}\int_{u=\frac{1}{4}}^{0} \sqrt{u}\left(-\frac{du}{2}\right).
  • Simplificando o sinal e a constante: =2\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\int_{\frac{1}{4}}^{0} u^{1/2}\,du =-\sqrt{3}\int_{\frac{1}{4}}^{0} u^{1/2}\,du =\sqrt{3}\int_{0}^{\frac{1}{4}} u^{1/2}\,du.
  • Calcule a primitiva de u^{1/2}: é \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Assim \sqrt{3}\int_{0}^{\frac{1}{4}} u^{1/2}\,du =\sqrt{3}\cdot\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{3/2}.
  • Calcular \left(\dfrac{1}{4}\right)^{3/2}: primeiro \left(\dfrac{1}{4}\right)^{1/2}=\dfrac{1}{2}, e elevando ao cubo dá \dfrac{1}{8}. Portanto \sqrt{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{2\sqrt{3}}{24}=\frac{\sqrt{3}}{12}.

Passo 9

Somar as parcelas, multiplicar por 2\pi e simplificar.
  • Soma interna (as duas integrais já avaliadas): \frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{12}.
  • Colocando em denominador comum 12: \frac{3\sqrt{3}}{12}+\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{4\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
  • Multiplicando por 2\pi obtemos o volume: V=2\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}.
  • Observação de simplificação final: como \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, outra forma equivalente é V=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}.

Resposta

\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}

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