O conjunto W é formado pelos pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades:x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{3}\leq 1,ez^{2}\leq x^{2}+y^{2}.
Informação implícita: as duas condições limitam z em função de x^{2}+y^{2}; há simetria em torno do eixo z (as desigualdades dependem apenas de r^{2}=x^{2}+y^{2} e de z^{2}).
O que precisamos encontrar: o valor numérico do volume de W.
Passo 2
Ideia do método escolhido (explicação didática e motivação).
Como as desigualdades dependem de x^{2}+y^{2} e de z apenas por meio de z^{2}, há simetria circular em torno do eixo z. Isso sugere usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), que são muito úteis quando coisas dependem de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Em coordenadas cilíndricas as relações são:x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,e o elemento de volume édV = r\,dz\,dr\,d\theta.Explicando: o fator extra r aparece porque um anel de raio r e espessura dr tem comprimento lateral 2\pi r (ou diferencial r\,d\theta quando se integra em \theta).
Portanto vamos reescrever as desigualdades em função de r e z, e integrar r de 0 até o limite adequado, \theta de 0 a 2\pi, e z entre as duas curvas superiores/inferiores correspondentes.
Passo 3
Reescrever as desigualdades usando r^{2}=x^{2}+y^{2}.
A primeira desigualdade ficar^{2}+\frac{z^{2}}{3}\leq 1 \quad\Longleftrightarrow\quad z^{2}\leq 3(1-r^{2}).
A segunda desigualdade ficaz^{2}\leq r^{2}.
Assim, para um dado r fixo, o valor permitido de z^{2} deve obedecer simultaneamentez^{2}\leq r^{2} \quad\text{e}\quad z^{2}\leq 3(1-r^{2}).Ou seja,z^{2}\leq \min\bigl(r^{2},\,3(1-r^{2})\bigr).
Passo 4
Determinar para que valores de r a função mínima troca de ramo (ou seja, achar o ponto onde r^{2}=3(1-r^{2})).
Logo o ponto crítico ér=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Interpretação:
Para 0\leq r\leq \dfrac{\sqrt{3}}{2} tem-se r^{2}\leq 3(1-r^{2}), logo \min(r^{2},3(1-r^{2}))=r^{2} e então z^{2}\le r^{2} (ou seja |z|\le r).
Para \dfrac{\sqrt{3}}{2}\le r\le 1 (o raio máximo vem da primeira desigualdade quando z=0, que dá r^{2}\le1, logo r\le1), tem-se r^{2}\ge 3(1-r^{2}), logo \min=\;3(1-r^{2}) e então z^{2}\le 3(1-r^{2}) (ou seja |z|\le \sqrt{3(1-r^{2})}).
Passo 5
Escrever a integral de volume em coordenadas cilíndricas, separando os dois intervalos de r.
O volume éV=\int_{0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=-\sqrt{\min(r^{2},\,3(1-r^{2}))}}^{\sqrt{\min(r^{2},\,3(1-r^{2}))}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Separando conforme a análise do passo anterior:V=\int_{0}^{2\pi}\left[\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \int_{z=-r}^{r} r\,dz\,dr \;+\; \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} \int_{z=-\sqrt{3(1-r^{2})}}^{\sqrt{3(1-r^{2})}} r\,dz\,dr\right] d\theta.
Integrando primeiro em z (altura simétrica em torno de zero) cada pedaço dá a altura multiplicada por r:
Para 0\le r\le \dfrac{\sqrt{3}}{2} a altura em z é 2r, então o integrando fica r\cdot 2r = 2r^{2}.
Para \dfrac{\sqrt{3}}{2}\le r\le 1 a altura em z é 2\sqrt{3(1-r^{2})}, então o integrando fica r\cdot 2\sqrt{3(1-r^{2})}=2r\sqrt{3(1-r^{2})}.
Fatorar a integração em \theta e simplificar a expressão do volume.
A integral em \theta é simples e dá um fator 2\pi:V = 2\pi\left[ \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} 2r^{2}\,dr \;+\; \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} 2r\sqrt{3(1-r^{2})}\,dr \right].
Calcular a primeira integral \displaystyle 2\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} r^{2}\,dr passo a passo.
A primitiva de r^{2} é \dfrac{r^{3}}{3}. Então2\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} r^{2}\,dr =2\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} =2\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}.
Calcular a segunda integral \displaystyle 2\sqrt{3}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr usando substituição.
Faça a substituição u=1-r^{2}. Então du=-2r\,dr, ou seja r\,dr=-\dfrac{du}{2}.
Quando r=\dfrac{\sqrt{3}}{2} temos u=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}. Quando r=1 temos u=0.
A integral vira2\sqrt{3}\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr =2\sqrt{3}\int_{u=\frac{1}{4}}^{0} \sqrt{u}\left(-\frac{du}{2}\right).
Simplificando o sinal e a constante:=2\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\int_{\frac{1}{4}}^{0} u^{1/2}\,du =-\sqrt{3}\int_{\frac{1}{4}}^{0} u^{1/2}\,du =\sqrt{3}\int_{0}^{\frac{1}{4}} u^{1/2}\,du.
Calcule a primitiva de u^{1/2}: é \dfrac{2}{3}u^{3/2}. Assim\sqrt{3}\int_{0}^{\frac{1}{4}} u^{1/2}\,du =\sqrt{3}\cdot\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{3/2}.
Calcular \left(\dfrac{1}{4}\right)^{3/2}: primeiro \left(\dfrac{1}{4}\right)^{1/2}=\dfrac{1}{2}, e elevando ao cubo dá \dfrac{1}{8}. Portanto\sqrt{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{2\sqrt{3}}{24}=\frac{\sqrt{3}}{12}.
Passo 9
Somar as parcelas, multiplicar por 2\pi e simplificar.
Soma interna (as duas integrais já avaliadas):\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{12}.
Colocando em denominador comum 12:\frac{3\sqrt{3}}{12}+\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{4\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Multiplicando por 2\pi obtemos o volume:V=2\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\pi\sqrt{3}}{3}.
Observação de simplificação final: como \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, outra forma equivalente éV=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}.