Questão 14. Relação entre equação da difusão e da onda. Suponha que u(x, t) é a solução da equação da onda u_{t t}-c^{2} u_{x x}=0 e seja
v(x, t)=\frac{c}{\sqrt{4 \pi k t}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-s c^{2} / 4 k t} u(x, s) d s
Mostre que v(x, t) é solução da equação de difusão!
Se derivadas de segunda ordem de u são limitadas. Mostre que \lim _{t \rightarrow 0} v(x, t)=u(x, 0).
Passo 1
O enunciado dá a função u(x,t) que satisfaz a equação da onda
u_{t t}-c^{2}u_{x x}=0
e define v(x,t) por
v(x,t)=\frac{c}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-s c^{2}/4 k t}\,u(x,s)\,ds.
O que se pede:
Mostrar que v(x,t) é solução da equação de difusão (isto é, mostrar que \,v_{t}=k\,v_{x x}\,).
Supondo que derivadas de segunda ordem de u são limitadas, mostrar que \lim_{t\to0}v(x,t)=u(x,0).
Observação importante (sobre o integrando): a forma canônica deste tipo de resultado usa o kernel Gaussiano com s^{2} no expoente; sem o quadrado a integral em \!s\! não faz sentido (diverge para s\to-\infty). Para que a demonstração seja a clássica e a integral seja convergente, vou assumir que o expoente contém s^{2}, ou seja que o kernel é
\frac{c}{\sqrt{4\pi k t}}e^{-\,\frac{c^{2}s^{2}}{4k t}}.
Com essa hipótese reescrevo
v(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}G(s,t)\,u(x,s)\,ds, \qquad G(s,t)=\frac{c}{\sqrt{4\pi k t}}\,e^{-\,\frac{c^{2}s^{2}}{4k t}}.
Passo 2
Vou estudar as derivadas de G em t e em s. Para simplificar a notação, defino
Agora calculo v_{t}. Justifico a troca de derivada com a integral pelo fato de que G é a densidade Gaussiana em s (para cada t>0 é rapidamente decrescente) e u e suas derivadas até a segunda ordem são limitadas — portanto existe uma função integrável que domina |\partial_{t}G\,u|, permitindo usar diferenciação sob o sinal de integral (teorema da convergência dominada). Assim
As quantidades de fronteira \partial_{s}G\,u e G\,u_{s} valem zero nos extremos porque G e \partial_{s}G decaem exponencialmente em |s| (é Gaussiana) enquanto u, u_{s} são limitadas por hipótese. Assim as partes de contorno desaparecem e resta
Uso a equação da onda para trocar u_{s s} por c^{2}u_{x x} (a derivada em s é a derivada temporal de u, note que u_{s s}=u_{t t} quando o segundo argumento é s):
Agora provarei que \lim_{t\to0}v(x,t)=u(x,0) sob a hipótese de derivadas segundas de u limitadas (isto garante regularidade suficiente em s para usar expansão de Taylor).
Primeiro verifico que G é uma família de aproximações da identidade em s. Calculo a integral de normalização:
\int_{-\infty}^{\infty}G(s,t)\,ds =\frac{c}{\sqrt{4\pi k t}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\,\frac{c^{2}s^{2}}{4k t}}\,ds =1,
pois a integral Gaussiana padrão \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^{2}}dy=\sqrt{\pi} e uma mudança de variável dá exatamente 1.
Agora faço a expansão de Taylor de s\mapsto u(x,s) em torno de s=0. Para cada x fixo, existe \xi entre 0 e s tal que
A integral linear em s anula porque sG(s,t) é função ímpar. Para o termo de ordem s^{2} uso que u_{s s} é limitada: existe M tal que |u_{s s}(x,\cdot)|\le M. Então