f(x)= \begin{cases}k x, & 0 \leq x \leq 4 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
(a) Determine k.
(b) Calcule P(X>3).
(c) Determine o percentil 40 \%.
Passo 1
O enunciado fornece a função f\) dada por
\[f(x)= \begin{cases}k x, & 0 \leq x \leq 4,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
As perguntas são:
(a) Determinar k\].
(b) Calcular \(P(X>3).
(c) Determinar o percentil de 40\% (ou seja, o valor p tal que P(X\le p)=0,4).
Informações relevantes dadas:
A função f vale k x apenas no intervalo [0,4] e é zero fora desse intervalo.
Presume-se que f é uma densidade de probabilidade (ou seja, a área total sob f sobre toda a reta deve ser 1).]
Passo 2
(a) Para encontrar k usamos a condição de normalização de uma densidade: a integral de f sobre toda a reta deve ser 1. Aqui a contribuição é apenas de 0 a 4. Assim escrevemos a equação
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1
Como f(x)=0 fora de [0,4], isso reduz-se a
\int_{0}^{4} k x \, dx = 1.
Agora calculamos a integral. Lembrando a regra básica de integração: \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}. Aplicando:
\int_{0}^{4} k x \, dx = k \int_{0}^{4} x \, dx = k\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = k\cdot \dfrac{4^{2}-0^{2}}{2} = k\cdot \dfrac{16}{2} = 8k.
Portanto a equação de normalização fica 8k=1. Assim
k=\dfrac{1}{8}.
Como valor decimal, \dfrac{1}{8}=0,125.
Passo 3
(b) Agora queremos P(X>3). Por definição de probabilidade com densidade contínua:
P(X>3)=\int_{3}^{4} f(x)\,dx = \int_{3}^{4} k x\,dx.
Substituindo k=\dfrac{1}{8} e calculando a integral:
Observação alternativa (para fixar a ideia): também se pode calcular via função de distribuição acumulada F(x)=\int_{0}^{x} k t\,dt = k\,\dfrac{x^{2}}{2} e então P(X>3)=1-F(3)=1-k\cdot\dfrac{3^{2}}{2}, que dá o mesmo resultado.
Passo 4
(c) Percentil de 40\%: procurar p\in[0,4] tal que P(X\le p)=0,4. Como P(X\le p)=F(p) e, como visto,