Questão 9.
f(x)= \begin{cases}k x, & 0 \leq x \leq 4 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}á
(a) Determine k.
(b) Calcule P(X>3).
(c) Determine o percentil 40 \%.

Passo 1

O enunciado fornece a função f\) dada por \[f(x)= \begin{cases}k x, & 0 \leq x \leq 4,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
As perguntas são:
(a) Determinar k\]. (b) Calcular \(P(X>3).
(c) Determinar o percentil de 40\% (ou seja, o valor p tal que P(X\le p)=0,4).
Informações relevantes dadas:
  • A função f vale k x apenas no intervalo [0,4] e é zero fora desse intervalo.
  • Presume-se que f é uma densidade de probabilidade (ou seja, a área total sob f sobre toda a reta deve ser 1).]

Passo 2

(a) Para encontrar k usamos a condição de normalização de uma densidade: a integral de f sobre toda a reta deve ser 1. Aqui a contribuição é apenas de 0 a 4. Assim escrevemos a equação
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1
Como f(x)=0 fora de [0,4], isso reduz-se a
\int_{0}^{4} k x \, dx = 1.
Agora calculamos a integral. Lembrando a regra básica de integração: \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}. Aplicando:
\int_{0}^{4} k x \, dx = k \int_{0}^{4} x \, dx = k\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4} = k\cdot \dfrac{4^{2}-0^{2}}{2} = k\cdot \dfrac{16}{2} = 8k.
Portanto a equação de normalização fica 8k=1. Assim
k=\dfrac{1}{8}.
Como valor decimal, \dfrac{1}{8}=0,125.

Passo 3

(b) Agora queremos P(X>3). Por definição de probabilidade com densidade contínua:
P(X>3)=\int_{3}^{4} f(x)\,dx = \int_{3}^{4} k x\,dx.
Substituindo k=\dfrac{1}{8} e calculando a integral:
\int_{3}^{4} k x\,dx = k\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{3}^{4} = k\cdot \dfrac{4^{2}-3^{2}}{2} = k\cdot \dfrac{16-9}{2} = k\cdot \dfrac{7}{2}.
Com k=\dfrac{1}{8} obtemos
P(X>3)=\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{16}.
Como decimal isso é \dfrac{7}{16}=0,4375.
Observação alternativa (para fixar a ideia): também se pode calcular via função de distribuição acumulada F(x)=\int_{0}^{x} k t\,dt = k\,\dfrac{x^{2}}{2} e então P(X>3)=1-F(3)=1-k\cdot\dfrac{3^{2}}{2}, que dá o mesmo resultado.

Passo 4

(c) Percentil de 40\%: procurar p\in[0,4] tal que P(X\le p)=0,4. Como P(X\le p)=F(p) e, como visto,
F(p)=\int_{0}^{p} k t\,dt = k\,\dfrac{p^{2}}{2}.
Então resolvemos a equação
k\,\dfrac{p^{2}}{2}=0,4.
Substituindo k=\dfrac{1}{8},
\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{p^{2}}{2}=0,4 \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{p^{2}}{16}=0,4.
Multiplicando ambos os lados por 16:
p^{2}=16\cdot 0,4=6,4.
Tomando raiz quadrada (e escolhendo a raiz positiva porque p está em [0,4]):
p=\sqrt{6,4}.
Podemos simplificar \sqrt{6,4}=\sqrt{\tfrac{64}{10}}=\dfrac{8}{\sqrt{10}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{5}. Como aproximação decimal,
p\approx 2,5298.

Resposta

k=\dfrac{1}{8}=0,125\n
P(X>3)=\dfrac{7}{16}=0,4375\n
Percentil de 40\%: p=\sqrt{6,4}=\dfrac{4\sqrt{10}}{5}\approx 2,5298

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