Questão 11: Uma urna contém 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas. Sacam-se 6 bolas dessa urna. Determine a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor:
(a) supondo a extração com reposição;
(b) supondo a extração sem reposição;

Passo 1

O enunciado descreve uma urna com 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas (total de 12 bolas) e pede a probabilidade de, ao sacar 6 bolas, obter exatamente 2 de cada cor.
Conteúdo: distribuições de probabilidade para extração com reposição (multinomial) e sem reposição (hipergeométrica multivariada).

Passo 2

Caso (a) – extração com reposição
Aqui cada retirada é independente e a probabilidade de cada cor permanece constante:
pbranca=ppreta=pvermelha=412=13
O número de maneiras de obter exatamente 2 brancas, 2 pretas e 2 vermelhas em 6 saques segue a distribuição multinomial, com coeficiente multinomial
6!2!,2!,2!
e probabilidade
Prep=6!2!,2!,2!l(13r)^2l(13r)^2l(13r)^2 =6!(2!)^3l(13r)^6
Calculando:
6!=720, (2!)^3=8, (1/3)^6=1729,
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Prep=7208cdot1729=90729=1081

Passo 3

Caso (b) – extração sem reposição
Agora as retiradas não são independentes e usamos a hipergeométrica multivariada. O total de modos de escolher 6 bolas de 12 é
binom126
O número de modos favoráveis (2 de cada cor) é
binom42,binom42,binom42=(6),(6),(6)=216
Portanto
Psem rep=binom42^3binom126 =216binom126
Como binom126=924, obtemos
Psem rep=216924=1877

Resposta

(a) 1081
(b) 1877

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