Questão 11: Uma urna contém 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas. Sacam-se 6 bolas dessa urna. Determine a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor:
(a) supondo a extração com reposição;
(b) supondo a extração sem reposição;
(a) supondo a extração com reposição;
(b) supondo a extração sem reposição;
Passo 1
O enunciado descreve uma urna com 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas (total de 12 bolas) e pede a probabilidade de, ao sacar 6 bolas, obter exatamente 2 de cada cor.
Conteúdo: distribuições de probabilidade para extração com reposição (multinomial) e sem reposição (hipergeométrica multivariada).
Conteúdo: distribuições de probabilidade para extração com reposição (multinomial) e sem reposição (hipergeométrica multivariada).
Passo 2
Caso (a) – extração com reposição
Aqui cada retirada é independente e a probabilidade de cada cor permanece constante:
Aqui cada retirada é independente e a probabilidade de cada cor permanece constante:
O número de maneiras de obter exatamente 2 brancas, 2 pretas e 2 vermelhas em 6 saques segue a distribuição multinomial, com coeficiente multinomial
e probabilidade
Calculando:
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Passo 3
Caso (b) – extração sem reposição
Agora as retiradas não são independentes e usamos a hipergeométrica multivariada. O total de modos de escolher 6 bolas de 12 é
Agora as retiradas não são independentes e usamos a hipergeométrica multivariada. O total de modos de escolher 6 bolas de 12 é
O número de modos favoráveis (2 de cada cor) é
Portanto
Como
, obtemos
Resposta
(a)
(b)
(b)