Questão 20 (IBGE/2013)

Dois eventos A e B, independentes, são tais que P(A)>P(B), P(A cap B)= 1 / 3 e P(A cup B)=5 / 6.
O valor de P(A^c cap B) é:
(A) 1 / 3
(B) 1 / 2
(C) 1 / 4
(D) 1 / 6
(E) 2 / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala de dois eventos A e B, independentes, com
  1. P(Acap B)=tfrac13
  2. P(Acup B)=tfrac56
  3. P(A)>P(B)
    O que pedem é P(A^ccap B).
    Conteúdo envolvido: probabilidade de união, interseção, independência e complementar.

Passo 2

Primeiro, usamos a fórmula da união de dois eventos:
P(Acup B);=;P(A)+P(B);-;P(Acap B)
Substituindo P(Acup B)=tfrac56 e P(Acap B)=tfrac13, temos
tfrac56 ;=;P(A)+P(B);-;tfrac13 Longrightarrow P(A)+P(B)=tfrac56+tfrac13=tfrac5+26=tfrac76

Passo 3

Como A e B são independentes, vale
P(Acap B)=P(A),P(B)=tfrac13
Agora temos o sistema
P(A)+P(B)=tfrac76, P(A),P(B)=tfrac13

Passo 4

Para resolver, chamamos [t) qualquer uma das probabilidades e montamos
O discriminante é
Como e .

Passo 5

Para achar P(A^ccap B), note que B se divide em duas partes disjuntas:
B=(Acap B)cup (A^ccap B) Longrightarrow P(B)=P(Acap B)+P(A^ccap B)
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P(A^ccap B)=P(B)-P(Acap B) =tfrac12-tfrac13 =tfrac3-26 =tfrac16

Resposta

boxedtfrac16.

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