Questão 13 (Mack - SP)
O conjugado de \frac{2-i}{i} vale:
a) 1-2 i
b) 1+2 i
c) 1+3 i
d) -1+2 i
e) 2-\mathrm{i}

Passo 1

O enunciado pede: “O conjugado de \dfrac{2-\mathrm{i}}{\mathrm{i}} vale:” e apresenta cinco alternativas. Informação dada relevante: o número complexo a analisar é \dfrac{2-\mathrm{i}}{\mathrm{i}}. Lembre-se também da relação básica \mathrm{i}^2=-1. A tarefa é encontrar o conjugado desse número complexo.

Passo 2

O que é conjugado de um complexo? Se temos um número complexo escrito na forma \;a+b\mathrm{i}\; (com a e b números reais), o conjugado dele é
\overline{a+b\mathrm{i}} = a - b\mathrm{i}.
Exemplo rápido para fixar: o conjugado de \;3+4\mathrm{i}\; é \;3-4\mathrm{i}\;.

Passo 3

Estratégia prática para a prova: primeiro escrevemos o número dado na forma a+b\mathrm{i} (parte real a e parte imaginária b), e só depois aplicamos a definição do conjugado. Isso evita confusão com sinais.

Passo 4

Um truque útil: \dfrac{1}{\mathrm{i}} = -\mathrm{i}. Justificativa curta:
\mathrm{i}\cdot(-\mathrm{i}) = -\mathrm{i}^2 = -(-1) = 1,
logo -\mathrm{i} é o inverso multiplicativo de \mathrm{i}.

Passo 5

Usando isso, calculamos \dfrac{2-\mathrm{i}}{\mathrm{i}}:
\frac{2-\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = (2-\mathrm{i})\cdot\frac{1}{\mathrm{i}} = (2-\mathrm{i})\cdot(-\mathrm{i}).
Agora expandimos passo a passo:
(2-\mathrm{i})(-\mathrm{i}) = 2\cdot(-\mathrm{i}) + (-\mathrm{i})\cdot(-\mathrm{i}).
Calcule cada termo:
2\cdot(-\mathrm{i}) = -2\mathrm{i},
(-\mathrm{i})\cdot(-\mathrm{i}) = \mathrm{i}^2 = -1.
Somando:
\frac{2-\mathrm{i}}{\mathrm{i}} = -1 - 2\mathrm{i}.
Portanto o número original já escrito na forma a+b\mathrm{i} é -1-2\mathrm{i}, com a=-1 e b=-2.

Passo 6

Agora aplicamos a definição do conjugado. Se z=-1-2\mathrm{i}, então
\overline{z} = -1 - (-2)\mathrm{i} = -1 + 2\mathrm{i}.
Então o conjugado de \dfrac{2-\mathrm{i}}{\mathrm{i}} é -1+2\mathrm{i}.

Passo 7

Para checar, outra rota (opcional): usar a propriedade \overline{\dfrac{z}{w}}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}. Aplicando aqui:
\overline{\frac{2-\mathrm{i}}{\mathrm{i}}} = \frac{\overline{2-\mathrm{i}}}{\overline{\mathrm{i}}} = \frac{2+\mathrm{i}}{-\mathrm{i}}.
Multiplicando numerador e denominador por -\mathrm{i} ou lembrando \dfrac{1}{-\mathrm{i}}=\mathrm{i}, obtemos novamente -1+2\mathrm{i}. Confirmado.

Resposta

-1+2\mathrm{i}

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