Questão 14 (Mack - SP)
Sendo i a unidade imaginária, o valor de y=\frac{i+i^{2}+i^{3}+\ldots+i^{502}}{i+i^{2}+\ldots+i^{103}} é igual a:
a) \frac{1}{2} \mathrm{i}
b) -i
c) 1-i
d) \frac{1+i}{2}
e) \frac{1-i}{2}

Passo 1

O enunciado dá que i é a unidade imaginária e pede o valor de
y=\frac{i+i^{2}+i^{3}+\ldots+i^{502}}{i+i^{2}+\ldots+i^{103}}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
\text{Numerador: } \sum_{k=1}^{502} i^{k}.
\text{Denominador: } \sum_{k=1}^{103} i^{k}.
A tarefa é calcular essa razão e escolher a opção correta (as opções estão no enunciado).

Passo 2

Antes de somar, vamos revisar uma propriedade essencial das potências de i. As primeiras potências de i são:
i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad i^{4}=1.
Como i^{4}=1, as potências repetem a cada 4 expoentes. Em termos gerais:
i^{k+4}=i^{k}\quad\text{para todo inteiro }k.
Isso significa que, se eu olhar as potências em blocos de 4, cada bloco tem sempre a mesma soma. Vamos calcular a soma de um bloco de 4 termos para ver algo útil.

Passo 3

Calculemos a soma de um ciclo completo de 4 potências:
i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=i+(-1)+(-i)+1.
Agrupando i com -i e -1 com 1, temos
i+(-i)=0,\quad -1+1=0,
logo
i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0.
Esse é o ponto-chave: cada bloco de 4 termos somados dá 0. Assim, ao somar muitos termos consecutivos, os blocos de 4 se anulam, sobrando apenas os termos “restantes” quando o número total não é múltiplo de 4.

Passo 4

Aplicamos essa ideia ao numerador \sum_{k=1}^{502} i^{k}. Primeiro encontramos quantos ciclos completos de 4 cabem em 502. O quociente inteiro de 502 por 4 é
\left\lfloor\frac{502}{4}\right\rfloor = 125,
porque 4\cdot 125 = 500. Isso significa que há 125 ciclos completos (que somam 0) e sobram 502-500=2 termos, ou seja os expoentes 501 e 502. Agora avaliamos esses termos usando a periodicidade:
i^{501}=i^{4\cdot125+1}=i^{1}=i,
i^{502}=i^{4\cdot125+2}=i^{2}=-1.
Portanto o numerador vale
\sum_{k=1}^{502} i^{k} = \underbrace{0+\cdots+0}_{125\\ \text{blocos}} + i^{501}+i^{502} = i+(-1)=i-1.

Passo 5

Agora o denominador \sum_{k=1}^{103} i^{k}. Fazemos o mesmo: o quociente inteiro de 103 por 4 é
\left\lfloor\frac{103}{4}\right\rfloor = 25,
porque 4\cdot 25 = 100. Logo há 25 ciclos completos (soma 0) e sobram 103-100=3 termos: expoentes 101,102,103. Avaliando cada um:
i^{101}=i^{4\cdot25+1}=i^{1}=i,
i^{102}=i^{4\cdot25+2}=i^{2}=-1,
i^{103}=i^{4\cdot25+3}=i^{3}=-i.
Somando esses restos:
i+(-1)+(-i) = -1.
Portanto o denominador vale -1.

Passo 6

Agora juntamos numerador e denominador:
y=\frac{i-1}{-1}.
Simplificando, multiplicando por -1 em cima e embaixo (ou apenas distribuindo o sinal),
\frac{i-1}{-1}=-(i-1) = -i+1 = 1-i.
Portanto o valor exato de y é 1-i. Vamos conferir mentalmente: numerador -1+i, denominador -1, divisão dá 1-i. Está consistente.

Passo 7

Comparando com as opções do enunciado, a opção que corresponde a 1-i é a letra c). Boa! Você chegou ao resultado — respirou fundo e seguiu os passos certos.

Resposta

1-i

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