Questão 15. Prove o princípio da comparação para difusão: Se u e v são soluções da equação da difusão e se
nos lados
e
, então
para todo
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente):
- Existem duas funções
e definidas no retângulo . - Ambas são soluções da equação da difusão (equação do calor) com o mesmo coeficiente de difusão positivo
; isto é,
- Nas partes da fronteira parabólica do domínio temos a desigualdade
para
(condição inicial) e para
e
(condições na fronteira lateral), isto é, sobre todo o contorno:
.
- O que se pede: provar que a desigualdade se mantém em todo o domínio parabolicamente: isto é, provar que
Passo 2
Definição e equação para a diferença. Defina
Como
e
satisfazem a mesma equação da difusão, subtraindo as equações obtemos a equação homogênea para
:
Além disso, pela hipótese nos contornos temos
e para todo
Ou seja,
satisfaz a equação da difusão no interior e é não-positiva sobre toda a fronteira parabólica do domínio.
Passo 3
Estratégia: provar que
no domínio. Vou usar um argumento por contradição com um pequeno truque (barreira temporal) que evita teoremas avançados. Suponha que exista ponto no domínio onde
seja positivo. Para obter contradição, considere a função perturbada, para
,
Calculemos a equação que
satisfaz:
ou reorganizando,
Esse termo negativo à direita é o que dará a contradição no ponto de máximo interior.
Passo 4
Valores de contorno para a função perturbada. Como
sobre toda a fronteira parabólica, temos:
- Para
: . - Para
ou : e análogo para .
Portantosobre toda a fronteira parabólica do domínio.
Passo 5
Propriedades de um máximo interior. Suponha, por contradição, que exista um ponto
com
e
onde
atinge um máximo estritamente positivo:
. No máximo interior vale a propriedade clássica:
(Explanação didática rápida: para um máximo em espaço, a derivada espacial é zero e a segunda derivada é não-positiva; para um máximo em tempo o incremento temporal à direita não pode ser positivo, então a derivada temporal no ponto de máximo é maior ou igual a zero.)
Passo 6
Avaliação da equação no ponto de máximo e Contradição. No ponto
usamos a equação de
:
Pelo que dissemos no passo anterior, o termo
é
e o termo
é
(pois
), logo a combinação à esquerda satisfaz
Mas a equação diz que esse mesmo lado vale
. Isso é uma contradição. Portanto não pode haver ponto interior com
.
Passo 7
Conclusão para
e passagem ao limite. Como
na fronteira e não pode assumir valor positivo no interior, segue que
para cada
. Agora fixe
e faça
. Observando que
e que
aumenta para
quando
, tomando o limite obtém-se
Isto é,
em todo o domínio.
Passo 8
Interpretação final e comentário prático. Assim mostramos que, se
na fronteira parabólica (condição inicial e nas bordas
) então a desigualdade se propaga para dentro do domínio para todo tempo futuro. Esse é o princípio da comparação (ou princípio do máximo) para a equação da difusão; a ideia chave foi evitar máximos positivos no interior usando uma pequena penalização temporal
que cria a contradição imediata.