Questão 15. Prove o princípio da comparação para difusão: Se u e v são soluções da equação da difusão e se u(x, t) \leq v(x, t) nos lados t=0, x=0 e x=l, então u(x, t) \leq v(x, t) para todo 0 \leq t<\infty e 0 \leq x \leq l.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo explicitamente):
  • Existem duas funções u(x,t) e v(x,t) definidas no retângulo \{0\le x\le l,\;0\le t<\infty\}.
  • Ambas são soluções da equação da difusão (equação do calor) com o mesmo coeficiente de difusão positivo k>0; isto é,
u_t = k\,u_{xx},\qquad v_t = k\,v_{xx}.
  • Nas partes da fronteira parabólica do domínio temos a desigualdade
u(x,t)\le v(x,t)
para t=0 (condição inicial) e para x=0 e x=l (condições na fronteira lateral), isto é, sobre todo o contorno: \{t=0,\;0\le x\le l\}\cup\{x=0,\;t\ge0\}\cup\{x=l,\;t\ge0\}.
  • O que se pede: provar que a desigualdade se mantém em todo o domínio parabolicamente: isto é, provar que
u(x,t)\le v(x,t)\quad\text{para todo }0\le x\le l,\;t\ge0.

Passo 2

Definição e equação para a diferença. Defina
w(x,t)=u(x,t)-v(x,t).
Como u e v satisfazem a mesma equação da difusão, subtraindo as equações obtemos a equação homogênea para w:
w_t = k\,w_{xx}.
Além disso, pela hipótese nos contornos temos
w(x,0)=u(x,0)-v(x,0)\le0\quad\text{para }0\le x\le l,
e para todo t\ge0
w(0,t)=u(0,t)-v(0,t)\le0,\qquad w(l,t)=u(l,t)-v(l,t)\le0.
Ou seja, w satisfaz a equação da difusão no interior e é não-positiva sobre toda a fronteira parabólica do domínio.

Passo 3

Estratégia: provar que w\le0 no domínio. Vou usar um argumento por contradição com um pequeno truque (barreira temporal) que evita teoremas avançados. Suponha que exista ponto no domínio onde w seja positivo. Para obter contradição, considere a função perturbada, para \varepsilon>0,
w_\varepsilon(x,t)=w(x,t)-\varepsilon t.
Calculemos a equação que w_\varepsilon satisfaz:
(w_\varepsilon)_t = w_t-\varepsilon = k\,w_{xx}-\varepsilon = k\,(w_\varepsilon)_{xx}-\varepsilon,
ou reorganizando,
(w_\varepsilon)_t - k\,(w_\varepsilon)_{xx}=-\varepsilon.
Esse termo negativo à direita é o que dará a contradição no ponto de máximo interior.

Passo 4

Valores de contorno para a função perturbada. Como w\le0 sobre toda a fronteira parabólica, temos:
  • Para t=0: w_\varepsilon(x,0)=w(x,0)\le0.
  • Para x=0 ou x=l: w_\varepsilon(0,t)=w(0,t)-\varepsilon t\le -\varepsilon t\le0 e análogo para x=l.
    Portanto w_\varepsilon\le0 sobre toda a fronteira parabólica do domínio.

Passo 5

Propriedades de um máximo interior. Suponha, por contradição, que exista um ponto (x_0,t_0) com 0<x_0<l e t_0>0 onde w_\varepsilon atinge um máximo estritamente positivo: w_\varepsilon(x_0,t_0)>0. No máximo interior vale a propriedade clássica:
(w_\varepsilon)_x(x_0,t_0)=0,\qquad (w_\varepsilon)_{xx}(x_0,t_0)\le0,\qquad (w_\varepsilon)_t(x_0,t_0)\ge0.
(Explanação didática rápida: para um máximo em espaço, a derivada espacial é zero e a segunda derivada é não-positiva; para um máximo em tempo o incremento temporal à direita não pode ser positivo, então a derivada temporal no ponto de máximo é maior ou igual a zero.)

Passo 6

Avaliação da equação no ponto de máximo e Contradição. No ponto (x_0,t_0) usamos a equação de w_\varepsilon:
(w_\varepsilon)_t - k\,(w_\varepsilon)_{xx} = -\varepsilon.
Pelo que dissemos no passo anterior, o termo (w_\varepsilon)_t é \ge0 e o termo -(w_\varepsilon)_{xx} é \ge0 (pois (w_\varepsilon)_{xx}\le0), logo a combinação à esquerda satisfaz
(w_\varepsilon)_t - k\,(w_\varepsilon)_{xx} \ge 0.
Mas a equação diz que esse mesmo lado vale -\varepsilon<0. Isso é uma contradição. Portanto não pode haver ponto interior com w_\varepsilon>0.

Passo 7

Conclusão para w_\varepsilon e passagem ao limite. Como w_\varepsilon\le0 na fronteira e não pode assumir valor positivo no interior, segue que
w_\varepsilon(x,t)\le0\quad\text{em todo }0\le x\le l,\;t\ge0,
para cada \varepsilon>0. Agora fixe (x,t) e faça \varepsilon\to0^+. Observando que w_\varepsilon(x,t)=w(x,t)-\varepsilon t e que w_\varepsilon(x,t) aumenta para w(x,t) quando \varepsilon\downarrow0, tomando o limite obtém-se
w(x,t)\le0\quad\text{para todo }0\le x\le l,\;t\ge0.
Isto é, u(x,t)-v(x,t)\le0 em todo o domínio.

Passo 8

Interpretação final e comentário prático. Assim mostramos que, se u\le v na fronteira parabólica (condição inicial e nas bordas x=0,l) então a desigualdade se propaga para dentro do domínio para todo tempo futuro. Esse é o princípio da comparação (ou princípio do máximo) para a equação da difusão; a ideia chave foi evitar máximos positivos no interior usando uma pequena penalização temporal -\varepsilon t que cria a contradição imediata.

Resposta

u(x,t)\le v(x,t) para todo 0\le x\le l e t\ge0.

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