Questão 1: Sejam:
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 3 & 4 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\\\ 5 & 2 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 0 \\\\ 1 & -1 & 2 \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right)
Determine:
B \cdot C-A^{2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de B\cdot C - A^{2}.
Informações dadas (matrizes):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 4 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix} 1 & 2\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] 5 & 2 \end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 2 \end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix} 1 & 2\\[4pt] -1 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A é uma matriz de ordem 3\times3.
  • B é uma matriz de ordem 3\times2.
  • C é uma matriz de ordem 2\times3.
  • A operação pedida é B\cdot C - A^{2}, ou seja, primeiro calcular B\cdot C (produto de matrizes) e A^{2}=A\cdot A, depois subtrair termo a termo.]

Passo 2

Verificação de dimensões e recordando a regra do produto de matrizes.
Regra de existência do produto: para duas matrizes X de ordem m\times n e Y de ordem n\times p, o produto XY existe e tem ordem m\times p. O elemento (i,j) do produto é dado por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
ou seja, fazemos o produto escalar da i-ésima linha de X com a j-ésima coluna de Y.
Aplicando aqui:
  • B é 3\times2 e C é 2\times3, então B\cdot C existe e será 3\times3.
  • A é 3\times3, então A\cdot A (ou A^{2}) existe e é 3\times3.
    Portanto a subtração B\cdot C - A^{2} é válida (ambas são 3\times3).

Passo 3

Calcular B\cdot C. Vou calcular linha a linha usando a fórmula do produto (produto escalar linha × coluna).
Primeiro, escrevo as linhas de B e as colunas de C:
  • Linhas de B:
    \text{linha}_1(B)=(1,2),
    \text{linha}_2(B)=(0,1),
    \text{linha}_3(B)=(5,2).
  • Colunas de C: \text{col}_1\text{(C)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, \text{col}_2\text{(C)}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]-1\end{pmatrix}, \text{col}_3\text{(C)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Agora cada elemento (i,j) de B\cdot C é a soma dos produtos correspondentes.
Cálculos:
\begin{aligned} (BC)_{11}&=(1,2)\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\cdot1+2\cdot1=1+2=3,\\[4pt] (BC)_{12}&=(1,2)\cdot\begin{pmatrix}4\\[4pt]-1\end{pmatrix}=1\cdot4+2\cdot(-1)=4-2=2,\\[4pt] (BC)_{13}&=(1,2)\cdot\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix}=1\cdot0+2\cdot2=0+4=4. \end{aligned}
\begin{aligned} (BC)_{21}&=(0,1)\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=0\cdot1+1\cdot1=1,\\[4pt] (BC)_{22}&=(0,1)\cdot\begin{pmatrix}4\\[4pt]-1\end{pmatrix}=0\cdot4+1\cdot(-1)=-1,\\[4pt] (BC)_{23}&=(0,1)\cdot\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix}=0\cdot0+1\cdot2=2. \end{aligned}
\begin{aligned} (BC)_{31}&=(5,2)\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=5\cdot1+2\cdot1=5+2=7,\\[4pt] (BC)_{32}&=(5,2)\cdot\begin{pmatrix}4\\[4pt]-1\end{pmatrix}=5\cdot4+2\cdot(-1)=20-2=18,\\[4pt] (BC)_{33}&=(5,2)\cdot\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix}=5\cdot0+2\cdot2=0+4=4. \end{aligned}
Portanto
BC=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 7 & 18 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{2}=A\cdot A. Uso a mesma ideia: cada elemento (i,j) é o produto escalar da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de A.
Escrevo as linhas de A:
\text{linha}_1(A)=(1,2,-1),
\text{linha}_2(A)=(3,4,0),
\text{linha}_3(A)=(1,1,1).
E as colunas de A:
\text{col}_1(A)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix},
\text{col}_2(A)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix},
\text{col}_3(A)=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Cálculos:
\begin{aligned} (A^{2})_{11}&=(1,2,-1)\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\cdot1+2\cdot3+(-1)\cdot1=1+6-1=6,\\[6pt] (A^{2})_{12}&=(1,2,-1)\cdot\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\cdot2+2\cdot4+(-1)\cdot1=2+8-1=9,\\[6pt] (A^{2})_{13}&=(1,2,-1)\cdot\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)+2\cdot0+(-1)\cdot1=-1+0-1=-2. \end{aligned}
\begin{aligned} (A^{2})_{21}&=(3,4,0)\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix}=3\cdot1+4\cdot3+0\cdot1=3+12+0=15,\\[6pt] (A^{2})_{22}&=(3,4,0)\cdot\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix}=3\cdot2+4\cdot4+0\cdot1=6+16+0=22,\\[6pt] (A^{2})_{23}&=(3,4,0)\cdot\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}=3\cdot(-1)+4\cdot0+0\cdot1=-3+0+0=-3. \end{aligned}
\begin{aligned} (A^{2})_{31}&=(1,1,1)\cdot\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\cdot1+1\cdot3+1\cdot1=1+3+1=5,\\[6pt] (A^{2})_{32}&=(1,1,1)\cdot\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\cdot2+1\cdot4+1\cdot1=2+4+1=7,\\[6pt] (A^{2})_{33}&=(1,1,1)\cdot\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)+1\cdot0+1\cdot1=-1+0+1=0. \end{aligned}
Assim
A^{2}=\begin{pmatrix} 6 & 9 & -2\\[4pt] 15 & 22 & -3\\[4pt] 5 & 7 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora faço a subtração termo a termo: B\cdot C - A^{2}. Subtraio cada entrada correspondente das matrizes BC e A^{2}.
Cálculos entrada a entrada:
\begin{aligned} & (BC-A^{2})_{11}=3-6=-3,\\[4pt] & (BC-A^{2})_{12}=2-9=-7,\\[4pt] & (BC-A^{2})_{13}=4-(-2)=4+2=6,\\[6pt] & (BC-A^{2})_{21}=1-15=-14,\\[4pt] & (BC-A^{2})_{22}=-1-22=-23,\\[4pt] & (BC-A^{2})_{23}=2-(-3)=2+3=5,\\[6pt] & (BC-A^{2})_{31}=7-5=2,\\[4pt] & (BC-A^{2})_{32}=18-7=11,\\[4pt] & (BC-A^{2})_{33}=4-0=4. \end{aligned}
Portanto o resultado é a matriz
BC - A^{2} = \begin{pmatrix} -3 & -7 & 6\\[4pt] -14 & -23 & 5\\[4pt] 2 & 11 & 4 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} -3 & -7 & 6\\[4pt] -14 & -23 & 5\\[4pt] 2 & 11 & 4 \end{pmatrix}]

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