Questão 12

Uma corda sujeita a uma tensão de 200 N e fixa nas duas extremidades oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da onda é dado por
y=0,1 m \cdot \sin (\pi x) \sin (12 \pi t)
onde \mathrm{x}=0 em uma das extremidades da corda x está em metros e t está em segundos. Quais são (a) O comprimento da corda? (b) a velocidade das ondas na corda? (c) a massa da corda? (d) Se a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária, qual é o período de oscilação?

Passo 1

O enunciado descreve uma corda de tensão T=200\\ \text{N}, presa em ambas as extremidades, que oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento é
y=0,1\\ \text{m}\,\sin(\pi x)\,\sin(12\pi t),
com x em metros e t em segundos. Vamos usar as fórmulas de onda estacionária em corda fixa:
– O número de ondas no modo m (harmônico) obedece k = \frac{m\pi}{L}.
– A frequência \displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi} e a velocidade \displaystyle v=\lambda f.
– A relação entre velocidade, tensão e densidade linear é \displaystyle v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
– A massa total da corda é \displaystyle m_{\text{corda}}=\mu L.
– No m-ésimo harmônico, f_m = m f_1 e o período é T_m = 1/f_m.

Passo 2

Identificamos o número de onda k no fator espacial \sin(\pi x). Em geral,
k = \frac{m\pi}{L}.
Como é o segundo harmônico, m=2, e o enunciado dá k=\pi. Logo,
\frac{2\pi}{L} = \pi \quad\Longrightarrow\quad L = 2\\ \text{m}.

Passo 3

O fator temporal é \sin(12\pi t), ou seja,
\omega = 12\pi \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{12\pi}{2\pi} = 6\\ \text{Hz}.
No segundo harmônico \lambda = \frac{2L}{m} = \frac{2\cdot2}{2}=2\\ \text{m}. Então a velocidade é
v = \lambda f = 2\cdot6 = 12\\ \text{m/s}.

Passo 4

Da relação \displaystyle v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} vem
\mu = \frac{T}{v^2} = \frac{200}{12^2} = \frac{200}{144} \approx 1{,}389\\ \text{kg/m}.
A massa total da corda é
m_{\text{corda}} = \mu L = 1{,}389\cdot2 \approx 2{,}78\\ \text{kg}.

Passo 5

No terceiro harmônico ( m=3), a frequência é três vezes a frequência fundamental. Como no segundo harmônico f_2=6\\ \text{Hz}, a fundamental é f_1=3\\ \text{Hz}, logo
f_3 = 3f_1 = 9\\ \text{Hz},
e o período do terceiro harmônico é
T_3 = \frac{1}{f_3} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111\\ \text{s}.

Resposta

(a) L=2\\ \text{m}.
(b) v=12\\ \text{m/s}.
(c) m_{\text{corda}}\approx2{,}78\\ \text{kg}.
(d) T_3\approx0{,}111\\ \text{s}.

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