Questão 4

Duas partículas oscilam em um movimento harmônico simples ao longo de um segmento de reta comum de comprimento A . Cada particula tem um período de 1,5 \mathrm{~s}, mas diferem em fase de \pi rad. (a) Qual a distância entre elas (em termos de A) 0,5 \mathrm{~s} 6 após a partícula mais atrasada deixar uma das extremidades do percurso? (b) Elas estão se aproximando ou se afastando?

Passo 1

O enunciado diz que duas partículas fazem movimento harmônico simples ao longo de um segmento de reta de comprimento A, ambas com período T=1{,}5\\ \mathrm{s}, porém defasadas em \pi rad. Precisamos achar a distância entre elas no instante t=0{,}5\\ \mathrm{s} após a partícula mais atrasada ter deixado uma extremidade, e verificar se estão se aproximando ou se afastando.

Passo 2

Como o percurso total tem comprimento A, cada partícula oscila entre as extremidades \pm A/2. Tomamos o ponto médio do segmento como origem. A frequência angular vale
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1{,}5} = \frac{4\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Chamando de partícula 1 aquela que parte de +A/2 em t=0, temos fase inicial \phi_1=0. A partícula 2 é defasada de \pi, logo \phi_2=\pi. Seus movimentos são
x_1(t) = \frac{A}{2}\,\cos\bigl(\omega t\bigr), \quad x_2(t) = \frac{A}{2}\,\cos\bigl(\omega t + \pi\bigr) = -\frac{A}{2}\,\cos\bigl(\omega t\bigr).

Passo 4

A separação instantânea (com sinal) é
s(t) = x_1(t) - x_2(t) = \frac{A}{2}\cos(\omega t) + \frac{A}{2}\cos(\omega t) = A\cos(\omega t).
Como queremos a distância, tomamos \bigl|s(t)\bigr|.

Passo 5

Em t=0{,}5\\ \mathrm{s} temos
\omega t = \frac{4\pi}{3}\cdot0{,}5 = \frac{2\pi}{3},
\bigl|s(0{,}5)\bigr| = A\bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr)\bigr| = A\bigl|-\tfrac12\bigr| = \frac{A}{2}.

Passo 6

Para saber se estão se aproximando ou se afastando, analisamos a derivada de \bigl|s(t)\bigr|. Como s(t)=A\cos(\omega t),
\frac{ds}{dt} = -A\,\omega\,\sin(\omega t).
Em t=0{,}5\\ \mathrm{s}, \sin(2\pi/3)>0 e \omega>0, daí ds/dt<0. Como no instante dado s(t)<0, isso faz \bigl|s(t)\bigr| aumentar, ou seja, as partículas estão se afastando.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{A}{2}
(b) Elas estão se afastando.

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