Questão 12. Determine intervalos nos quais a seguinte EDO possui única solução
y^4+cos (t-1) y^prime prime-1t-2=t^2

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
y^4+cos(t-1),y''-1t-2=t^2
e pede intervalos em que haja existência e unicidade de solução para um problema de valor inicial. O conteúdo é o Teorema de Picard–Lindelöf para EDO de ordem elevada, que exige colocar a equação na forma padrão
y''=f(t,y,y')
e verificar continuidade de f e de partial f/partial y (ou partial f/partial y').

Passo 2

Reescrevendo a EDO na forma padrão, isolamos y'':
cos(t-1),y''=t^2+1t-2-y^4
implies y''=underbracet^2+1t-2-y^4cos(t-1)f(t,y)
Note que f não depende de y', apenas de t e y.

Passo 3

Para aplicar Picard–Lindelöf precisamos que f(t,y) e
partial f/partial y sejam contínuas numa região que contenha o ponto inicial. Aqui
f(t,y)=t^2+1t-2-y^4cos(t-1),
partial fpartial y=-4,y^3cos(t-1)
As descontinuidades vêm de:
1. t-2=0, pois aparece 1/(t-2).
2. cos(t-1)=0, pois divide por cos(t-1).

Passo 4

Logo o domínio natural de f é
D=l(t,y)in Rtimes R: tneq2,;cos(t-1)neq0r
Os pontos em t onde cos(t-1)=0 são
t=1+pi2+kpi, kin Z
Portanto qualquer intervalo de t que não contenha t=2 nem nenhum valor 1+tfracpi2+kpi garante que f e partial f/partial y sejam contínuas ali, e assim haja existência e unicidade local da solução para dado valor inicial.

Resposta

Qualquer intervalo contido em
Rsetminusl2,;1+tfracpi2+kpi;;;kin Zr
é intervalo de existência e unicidade da solução da EDO.

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