Questão 12. Determine intervalos nos quais a seguinte EDO possui única solução
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
e pede intervalos em que haja existência e unicidade de solução para um problema de valor inicial. O conteúdo é o Teorema de Picard–Lindelöf para EDO de ordem elevada, que exige colocar a equação na forma padrão
e verificar continuidade de e de (ou ).
Passo 2
Reescrevendo a EDO na forma padrão, isolamos :
Note que f não depende de y', apenas de t e y.
Passo 3
Para aplicar Picard–Lindelöf precisamos que f(t,y) e partial f/partial y sejam contínuas numa região que contenha o ponto inicial. Aqui
f(t,y)=t^2+1t-2-y^4cos(t-1),
partial fpartial y=-4,y^3cos(t-1)
As descontinuidades vêm de: 1. t-2=0, pois aparece 1/(t-2). 2. cos(t-1)=0, pois divide por cos(t-1).
Passo 4
Logo o domínio natural de f é
D=l(t,y)in Rtimes R: tneq2,;cos(t-1)neq0r
Os pontos em t onde cos(t-1)=0 são
t=1+pi2+kpi, kin Z
Portanto qualquer intervalo de t que não contenha t=2 nem nenhum valor 1+tfracpi2+kpi garante que f e partial f/partial y sejam contínuas ali, e assim haja existência e unicidade local da solução para dado valor inicial.
Resposta
Qualquer intervalo contido em
Rsetminusl2,;1+tfracpi2+kpi;;;kin Zr
é intervalo de existência e unicidade da solução da EDO.