Questão 14. Resolva o PVI: y^prime prime prime-y^prime prime+y^prime-y=e^4 t, y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y''' - y'' + y' - y = e^4t, y(0)=1,;y'(0)=0,;y''(0)=-1
O conteúdo é EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes. Vamos achar primeiro a solução geral da homogênea, depois uma solução particular e finalmente ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea
y''' - y'' + y' - y=0
é
r^3 - r^2 + r -1 = 0
Agrupando em partes:
r^2(r-1)+(r-1)=(r^2+1)(r-1)=0,
logo as raízes são r=1, r=i e r=-i. A solução geral da homogênea é
yh(t)=C1e^t + C2cos t + C3sin t

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp do tipo
yp(t)=Ae^4t,
pois 4 não é raiz da característica. Substituindo em y''' - y'' + y' - y = e^4t temos
(64-16+4-1),A,e^4t=51A,e^4t=e^4tLongrightarrow A=151
Logo
yp(t)=151e^4t

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t)=C1e^t + C2cos t + C3sin t + 151e^4t
Calculamos as derivadas para aplicar as condições iniciais:
y'(t)=C1e^t - C2sin t + C3cos t + 451e^4t,
y''(t)=C1e^t - C2cos t - C3sin t + 1651e^4t

Passo 5

Em
Isso gera o sistema
Somando a primeira e a terceira equação:
(,2C_1=-\tfrac{17}{51}\implies C_1=-\tfrac{1}{6}.]
Em seguida

]

Resposta

boxedy(t)=-16e^t+3934cos t+334sin t+151e^4t

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