Questão 13. Verifique se as funções y1=1, y2=t e y3=t^3 formam o conjunto fundamental de soluções da EDO: t y^prime prime prime-y^prime prime=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
y1=1, y2=t, y3=t^3
formam um conjunto fundamental de soluções da EDO
t,y'''-y''=0
Para isso precisamos de duas coisas:
1. Mostrar que cada yi satisfaz a EDO.
2. Verificar que elas são linearmente independentes num intervalo onde a equação é bem definida (ou seja, tneq0).

Passo 2

Verificação de que cada yi é solução.
  • Para y1=1: y1'=0, y1''=0, y1'''=0 Logo t,y1''' - y1'' = tcdot0 - 0 = 0
  • Para y2=t: y2'=1, y2''=0, y2'''=0 Logo t,y2''' - y2'' = tcdot0 - 0 = 0
  • Para y3=t^3: y3'=3t^2, y3''=6t, y3'''=6 Logo t,y3''' - y3'' = tcdot6 - 6t = 6t - 6t = 0
Em todos os casos a EDO fica satisfeita.

Passo 3

Verificação de independência linear pelo Wronskiano:
W(t)= y1 & y2 & y3 [6pt] y1'& y2'& y3'[3pt] y1''& y2''& y3'' = 1 & t & t^3 [3pt] 0 & 1 & 3t^2 [3pt] 0 & 0 & 6t
Expandindo pela primeira coluna:
W(t)=1cdot 1 & 3t^2[3pt] 0 & 6t =1cdot(1cdot6t - 3t^2cdot0)=6t
Como W(t)=6tneq0 para tneq0, as tr^es solu\c{c}~oes s~ao linearmente independentes em qualquer intervalo que n~ao contenha t=0.]

Passo 4

Conclusão: as três funções satisfazem a EDO e têm Wronskiano não nulo (em tneq0), portanto formam um conjunto fundamental de soluções em qualquer intervalo onde tneq0.

Resposta

As funções y1=1, y2=t e y3=t^3 formam um conjunto fundamental de soluções da EDO t,y'''-y''=0 em qualquer intervalo que não contenha t=0.

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