Questão 13: Determine os valores de t tal que det(A-t I3)=0, com:
A=(ccc 0 & -1 & 0 -3 & 2 & 0 2 & 0 & 0 )

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de t tais que
detl(A - tI3r)=0,
onde
A= 0 & -1 & 0 -3 & 2 & 0 2 & 0 & 0
Este é o cálculo do polinômio característico de A e em seguida sua fatoração para achar as raízes. Vamos usar expansão por cofiatores e depois fatorar o polinômio resultante.

Passo 2

Primeiro escrevemos a matriz A - tI3:
A - tI3 = 0 - t & -1 & 0 -3 & 2 - t & 0 2 & 0 & 0 - t = -t & -1 & 0 -3 & 2 - t & 0 2 & 0 & -t

Passo 3

Para calcular det(A - tI3), expandimos ao longo da terceira coluna (que tem dois zeros):
det(A - tI3) =(-t),underbracedet!-t & -1[6pt]-3 & 2 - tC33
O cofiator C33 vale
C33 =l(-tr)l(2 - tr)-(-1)cdot(-3) =-t(2 - t)-3 =-2t + t^2 -3 =t^2-2t-3
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det(A - tI3) =-t,(t^2-2t-3) ]

Passo 4

Agora fatoramos completamente o polinômio
-t,(t^2-2t-3) =-t,(t-3)(t+1)

Passo 5

Para que det(A - tI3)=0 é preciso que cada fator seja zero. Assim
-t=0Longrightarrow t=0,
t-3=0Longrightarrow t=3,
t+1=0Longrightarrow t=-1

Resposta

Os valores de t que anularizam det(A - tI3) são
t=0, t=3, t=-1

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