Questão 12 - Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
1+e^-3 x y^prime=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de variáveis separáveis
1 + e^-3xy' = 0,
com condição inicial y(0)=1. Vamos isolar y' e integrar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Isolando y', temos
e^-3xy' = -1 implies y' = -e^3x
Em termos de diferencial, isso equivale a
dydx = -e^3x

Passo 3

Agora separamos variáveis (já estão separadas) e integramos ambos os lados:
integral dy = integral -e^3x,dx

Passo 4

Calculando as integrais, obtemos
integral dy = y, integral -e^3x,dx = -13e^3x + C
Logo a solução geral é
y = -13e^3x + C

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1:
1 = -13e^0 + C = -13 + C implies C = 43
Portanto a solução particular é
y(x) = -13e^3x + 43

Resposta

y(x) = -13e^3x + 43

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