Suponha que C A=In (a matriz identidade n times n). Mostre que a equação A x=0 só tem a solução trivial. Explique por que A não pode ter mais colunas que linhas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz C multiplicando a matriz A e resultando na matriz identidade In , ou seja, CA = In . Nosso objetivo aqui é mostrar que a equação A x = 0 só tem a solução trivial (que é quando x = 0 ). Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como a definição de matriz inversa e propriedades de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa CA = In . Isso indica que C é a matriz inversa de A , porque uma matriz multiplicada pela sua inversa resulta na matriz identidade. Em termos matemáticos, se CA = In , então C = A^-1 .

Passo 3

Sabemos que se uma matriz A possui uma inversa A^-1 , então ela é uma matriz invertível. Isso significa que A é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e tem determinante diferente de zero.

Passo 4

Agora, vamos considerar a equação A x = 0 . Queremos mostrar que a única solução para essa equação é x = 0 . Como A é invertível, podemos multiplicar ambos os lados da equação por A^-1 :
A^-1 A x = A^-1 0
Isso simplifica para:
In x = 0
x = 0

Passo 5

Então, mostramos que x = 0 é a única solução para A x = 0 . Isso significa que a equação só tem a solução trivial, ou seja, a solução onde o vetor x é o vetor nulo.

Passo 6

Por último, vamos explicar por que A não pode ter mais colunas que linhas. Como A é invertível, ela precisa ser uma matriz quadrada. Se tivesse mais colunas do que linhas, não seria possível ter uma inversa, e portanto, CA = In não seria válido. Além disso, se uma matriz tem mais colunas que linhas, ela tende a não ser injetora, o que significaria que existiriam soluções não triviais para A x = 0 , o que contraria o que mostramos anteriormente.

Resposta

A equação A x = 0 só tem a solução trivial x = 0 e, portanto, A não pode ter mais colunas do que linhas.

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