Suponha que
(a matriz identidade
). Mostre que a equação
só tem a solução trivial. Explique por que
não pode ter mais colunas que linhas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz
multiplicando a matriz
e resultando na matriz identidade
, ou seja,
. Nosso objetivo aqui é mostrar que a equação
só tem a solução trivial (que é quando
). Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como a definição de matriz inversa e propriedades de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso indica que
é a matriz inversa de
, porque uma matriz multiplicada pela sua inversa resulta na matriz identidade. Em termos matemáticos, se
, então
.
Passo 3
Sabemos que se uma matriz
possui uma inversa
, então ela é uma matriz invertível. Isso significa que
é uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e tem determinante diferente de zero.
Passo 4
Agora, vamos considerar a equação
. Queremos mostrar que a única solução para essa equação é
. Como
é invertível, podemos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Então, mostramos que
é a única solução para
. Isso significa que a equação só tem a solução trivial, ou seja, a solução onde o vetor
é o vetor nulo.
Passo 6
Por último, vamos explicar por que
não pode ter mais colunas que linhas. Como
é invertível, ela precisa ser uma matriz quadrada. Se tivesse mais colunas do que linhas, não seria possível ter uma inversa, e portanto,
não seria válido. Além disso, se uma matriz tem mais colunas que linhas, ela tende a não ser injetora, o que significaria que existiriam soluções não triviais para
, o que contraria o que mostramos anteriormente.
Resposta
A equação
só tem a solução trivial
e, portanto,
não pode ter mais colunas do que linhas.