Questão 12 (Instituto Consulplan - 2025/ Contador). Uma entidade alienou um ativo imobilizado por \mathrm{R} \ 660.000,00em doze prestações mensais e consecutivas no valor de\mathrm{R} $55.000,00, sendo a
primeira vencendo em um mês. A taxa de juros de mercado é de \(3 \%\). Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir.
I. O valor da Receita Financeira Total é de \(\mathrm{R} \\) 112.529,78.
II. O valor Presente Líquido da operação é de \mathrm{R} \ 547.470,12.
III. O valor Presente da \(6^{\mathrm{a}}\) e \(9^{\mathrm{a}}\) parcela é de \(\mathrm{R} \\) 46.061,63\(e\)\mathrm{R} \$42.153,00, respectivamente.
Está correto o que se afirma em:
A) I, II e III.
B) I, apenas.
C) III, apenas.
D) I e II, apenas.
E) II e III, apenas.
Passo 1
Vou descrever com clareza o que o enunciado dá e o que pede, listando todos os dados que vou usar (peguei estes valores do enunciado):
A entidade alienou um ativo por \mathrm{R}\$\,660{.}000{,}00 em doze prestações mensais e consecutivas de \mathrm{R}\$\,55{.}000{,}00 (ou seja, 12\cdot55{.}000=660{.}000); a primeira prestação vence em 1 mês.
A taxa de juros de mercado é 3\% ao mês.
O enunciado apresenta três afirmações (I, II, III) e pede que verifiquemos quais são verdadeiras:
I. O valor da Receita Financeira Total é de \mathrm{R}\$\,112{.}529{,}78.
II. O Valor Presente Líquido (PV) da operação é \mathrm{R}\$\,547{.}470{,}12.
III. O valor presente da 6^{\mathrm{a}} parcela é \mathrm{R}\$\,46{.}061{,}63 e da 9^{\mathrm{a}} parcela é \mathrm{R}\$\,42{.}153{,}00.
Passo 2
Qual o método que vou usar (sem entrar em contas ainda):
Para encontrar o Valor Presente (PV) de todas as prestações juntas uso a fórmula do valor presente de uma anuidade-imediata (pagamentos no fim de cada período): a_{\overline{n}|i}=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}, onde i é a taxa por período e n é o número de períodos. O PV total é então \text{PMT}\times a_{\overline{n}|i}, onde \text{PMT} é o valor de cada parcela.
O valor presente de uma parcela única que ocorre no mês k é a parcela descontada k períodos: PV_k=\text{PMT}\cdot(1+i)^{-k}.
A Receita Financeira Total (juros implícitos) recebida ao longo do tempo é a diferença entre o total nominal recebido e o valor presente da operação: \text{Receita Financeira Total}=\text{Total Nominal} - \text{PV}.
Agora aplico essas fórmulas com \text{PMT}=\mathrm{R}\$\,55{.}000{,}00, n=12 e i=0{,}03.
Passo 3
Calcular o fator anuidade para n=12 e i=0{,}03.
Primeiro calculo o desconto acumulado (1+i)^{-12}=(1{,}03)^{-12}. Calculando potências:
Observação didática: aqui \text{PMT}=55{.}000 é o que se recebe ao final de cada mês; o fator a_{\overline{12}|0{,}03} agrega esses recebimentos no valor presente na data zero, descontando à taxa de 3\% ao mês.
Passo 5
Calcular a Receita Financeira Total (juros totais embutidos no financiamento):
Interpretação prática: a diferença entre os 660{.}000 que serão recebidos ao longo do ano e o valor presente hoje \approx547{.}470{,}22 é o montante de juros que será apropriado ao longo das parcelas.
Passo 6
Calcular o valor presente da 6^{\mathrm{a}} parcela (pagamento que ocorre em k=6 meses):
Observação sobre arredondamento: os valores calculados aqui coincidem, com diferenças centesimais insignificantes devidas ao arredondamento, com os números apresentados nas afirmativas.
Passo 8
Comparação com as afirmativas do enunciado:
Afirmação I: diz que a Receita Financeira Total é \mathrm{R}\$\,112{.}529{,}78. Pelo Passo 5 encontrei exatamente \mathrm{R}\$\,112{.}529{,}78. Logo I é verdadeira.
Afirmação II: diz que o PV da operação é \mathrm{R}\$\,547{.}470{,}12. No Passo 4 calculei \mathrm{R}\$\,547{.}470{,}22. A diferença é de centavos (0{,}10) por arredondamento no cálculo das potências; portanto a afirmação II é correta dentro da precisão usual de centavos.
Afirmação III: no Passo 6 e Passo 7 calculei PV_6\approx \mathrm{R}\$\,46{.}061{,}63 e PV_9\approx \mathrm{R}\$\,42{.}153{,}00, coincidentes com os valores dados (diferenças desprezíveis por arredondamento). Portanto III é verdadeira.