QUESTÃO 12: Uma máquina térmica opera em ciclo entre dois reservatórios térmicos, sendo que a fonte quente está à
e a fonte fria está à
. A eficiência desta máquina equivale a 60,0% da eficiência de uma máquina de Carnot operando entre as duas fontes térmicas mencionadas. A potência de rejeição de calor é
.
a) Calcule a máxima eficiência da máquina térmica descrita no enunciado.
b) Determine a potência com a qual a máquina térmica realiza trabalho.
c) Calcule a quantidade de energia recebida da fonte quente durante 10,0 minutos de funcionamento da máquina térmica.
a) Calcule a máxima eficiência da máquina térmica descrita no enunciado.
b) Determine a potência com a qual a máquina térmica realiza trabalho.
c) Calcule a quantidade de energia recebida da fonte quente durante 10,0 minutos de funcionamento da máquina térmica.
Passo 1
O enunciado dá uma máquina térmica que opera entre duas fontes e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que cada item do enunciado solicita.
Dados fornecidos:
A eficiência da máquina é
da eficiência da máquina de Carnot entre essas fontes.
A potência de rejeição de calor (taxa de calor descarregado para o reservatório frio) é
A potência de rejeição de calor (taxa de calor descarregado para o reservatório frio) é
O que o problema pede:
a) Calcular a máxima eficiência da máquina térmica descrita no enunciado (ou seja, o valor numérico da eficiência).
b) Determinar a potência com a qual a máquina realiza trabalho (ou seja, em watts).
c) Calcular a quantidade de energia recebida da fonte quente durante minutos de funcionamento (ou seja,
em joules).
a) Calcular a máxima eficiência da máquina térmica descrita no enunciado (ou seja, o valor numérico da eficiência).
b) Determinar a potência com a qual a máquina realiza trabalho (ou seja,
c) Calcular a quantidade de energia recebida da fonte quente durante
Passo 2
Primeiro precisamos saber a eficiência máxima de Carnot entre as duas fontes. Para isso é essencial converter as temperaturas para Kelvin (sempre que usamos fórmulas termodinâmicas com temperaturas absolutas, usamos Kelvin).
Conversão:
A fórmula da eficiência de Carnot é uma coisa muito importante: ela dá a eficiência máxima teórica entre dois reservatórios e vale
onde
é a temperatura absoluta (em Kelvin) da fonte quente e
é da fonte fria. Aqui
é um número adimensional (por exemplo,
que equivale a
). Vou explicar: a razão
indica a fração da energia que, no melhor caso reversível, não pode ser convertida em trabalho; subtraindo de 1 obtemos a fração máxima que pode virar trabalho.
Calculemos:
Agora calculo a fração:
Portanto
Como porcentagem, isso é
.
Passo 3
O enunciado diz que a eficiência da máquina é
da eficiência de Carnot. Em notação:
Substituindo
:
Convertendo para porcentagem:
. Arredondando a
algarismos significativos (coerente com os dados),
ou em número adimensional
.
Explicação curta do significado:
é a fração do calor recebido da fonte quente que é convertido em trabalho. O resto é rejeitado para a fonte fria.
Passo 4
Agora vamos relacionar as taxas de energia. Num ciclo estacionário (por unidade de tempo) vale a conservação de energia:
onde
-
é a potência térmica recebida da fonte quente (em W), -
é a potência de trabalho realizada pela máquina (em W), -
é a potência de calor rejeitado (em W), que nos foi dada.
Também a eficiência
conecta
e
por
Destas duas equações podemos eliminar
. Escrevendo
na conservação de energia:
Fatorando o lado esquerdo:
Assim obtemos a expressão útil para
:
Depois podemos calcular
. Outra forma direta, se quiser, é
obtida substituindo
na expressão de
.
Passo 5
Agora aplico os números. Lembre que
e
.
Calcule
:
Faço a divisão:
Arredondando para três algarismos significativos (como os dados),
.
Passo 6
Calcule a potência de trabalho
usando
:
(Se usar a forma direta
dá resultado consistente.)
Portanto a máquina realiza trabalho com potência
.
Passo 7
Por fim calculamos a energia recebida da fonte quente durante
minutos. Primeiro convertemos o tempo para segundos porque as potências estão em watts (joule por segundo):
A energia total recebida é
Usando
:
Arredondando a três algarismos significativos:
(ou
).
Resposta
(a)
.
(b)
(c)