QUESTÃO 12: Uma máquina térmica opera em ciclo entre dois reservatórios térmicos, sendo que a fonte quente está à 150^{\circ} \mathrm{C} e a fonte fria está à 30,0^{\circ} \mathrm{C}. A eficiência desta máquina equivale a 60,0% da eficiência de uma máquina de Carnot operando entre as duas fontes térmicas mencionadas. A potência de rejeição de calor é 30,0 W.
a) Calcule a máxima eficiência da máquina térmica descrita no enunciado.
b) Determine a potência com a qual a máquina térmica realiza trabalho.
c) Calcule a quantidade de energia recebida da fonte quente durante 10,0 minutos de funcionamento da máquina térmica.

Passo 1

O enunciado dá uma máquina térmica que opera entre duas fontes e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que cada item do enunciado solicita.
Dados fornecidos:
T_{\text{quente}} = 150^\circ\mathrm{C}
T_{\text{fria}} = 30{,}0^\circ\mathrm{C}
A eficiência da máquina é 60{,}0\% da eficiência da máquina de Carnot entre essas fontes.
A potência de rejeição de calor (taxa de calor descarregado para o reservatório frio) é
\dot{Q}_c = 30{,}0\\ \mathrm{W}.
O que o problema pede:
a) Calcular a máxima eficiência da máquina térmica descrita no enunciado (ou seja, o valor numérico da eficiência).
b) Determinar a potência com a qual a máquina realiza trabalho (ou seja, \dot{W} em watts).
c) Calcular a quantidade de energia recebida da fonte quente durante 10{,}0 minutos de funcionamento (ou seja, Q_{\text{in}} em joules).

Passo 2

Primeiro precisamos saber a eficiência máxima de Carnot entre as duas fontes. Para isso é essencial converter as temperaturas para Kelvin (sempre que usamos fórmulas termodinâmicas com temperaturas absolutas, usamos Kelvin).
Conversão:
T_h = 150^\circ\mathrm{C} = 150 + 273{,}15 = 423{,}15\\ \mathrm{K},
T_c = 30{,}0^\circ\mathrm{C} = 30{,}0 + 273{,}15 = 303{,}15\\ \mathrm{K}.
A fórmula da eficiência de Carnot é uma coisa muito importante: ela dá a eficiência máxima teórica entre dois reservatórios e vale
\eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h},
onde T_h é a temperatura absoluta (em Kelvin) da fonte quente e T_c é da fonte fria. Aqui \eta_C é um número adimensional (por exemplo, 0{,}28 que equivale a 28\%). Vou explicar: a razão T_c/T_h indica a fração da energia que, no melhor caso reversível, não pode ser convertida em trabalho; subtraindo de 1 obtemos a fração máxima que pode virar trabalho.
Calculemos:
\eta_C = 1 - \frac{303{,}15}{423{,}15}.
Agora calculo a fração:
\frac{303{,}15}{423{,}15}\approx 0{,}7165.
Portanto
\eta_C \approx 1 - 0{,}7165 = 0{,}2835.
Como porcentagem, isso é \eta_C \approx 28{,}35\%.

Passo 3

O enunciado diz que a eficiência da máquina é 60{,}0\% da eficiência de Carnot. Em notação:
\eta = 0{,}600 \cdot \eta_C.
Substituindo \eta_C \approx 0{,}2835:
\eta \approx 0{,}600 \times 0{,}2835 = 0{,}1701.
Convertendo para porcentagem: \eta \approx 17{,}01\%. Arredondando a 3 algarismos significativos (coerente com os dados), \eta = 17{,}0\% ou em número adimensional \eta = 0{,}170.
Explicação curta do significado: \eta é a fração do calor recebido da fonte quente que é convertido em trabalho. O resto é rejeitado para a fonte fria.

Passo 4

Agora vamos relacionar as taxas de energia. Num ciclo estacionário (por unidade de tempo) vale a conservação de energia:
\dot{Q}_{\text{in}} - \dot{W} = \dot{Q}_c,
onde
  • \dot{Q}_{\text{in}} é a potência térmica recebida da fonte quente (em W),
  • \dot{W} é a potência de trabalho realizada pela máquina (em W),
  • \dot{Q}_c é a potência de calor rejeitado (em W), que nos foi dada.
Também a eficiência \eta conecta \dot{W} e \dot{Q}_{\text{in}} por
\eta = \frac{\dot{W}}{\dot{Q}_{\text{in}}}.
Destas duas equações podemos eliminar \dot{W}. Escrevendo \dot{W} = \eta\,\dot{Q}_{\text{in}} na conservação de energia:
\dot{Q}_{\text{in}} - \eta\,\dot{Q}_{\text{in}} = \dot{Q}_c.
Fatorando o lado esquerdo:
(1-\eta)\,\dot{Q}_{\text{in}} = \dot{Q}_c.
Assim obtemos a expressão útil para \dot{Q}_{\text{in}}:
\dot{Q}_{\text{in}} = \frac{\dot{Q}_c}{1-\eta}.
Depois podemos calcular \dot{W} = \eta\,\dot{Q}_{\text{in}}. Outra forma direta, se quiser, é
\dot{W} = \frac{\eta}{1-\eta}\,\dot{Q}_c,
obtida substituindo \dot{Q}_{\text{in}} na expressão de \dot{W}.

Passo 5

Agora aplico os números. Lembre que \dot{Q}_c = 30{,}0\\ \mathrm{W} e \eta \approx 0{,}1701.
Calcule \dot{Q}_{\text{in}}:
\dot{Q}_{\text{in}} = \frac{30{,}0\\ \mathrm{W}}{1 - 0{,}1701} = \frac{30{,}0}{0{,}8299}\\ \mathrm{W}.
Faço a divisão:
\dot{Q}_{\text{in}} \approx 36{,}15\\ \mathrm{W}.
Arredondando para três algarismos significativos (como os dados), \dot{Q}_{\text{in}} = 36{,}1\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Calcule a potência de trabalho \dot{W} usando \dot{W} = \eta\,\dot{Q}_{\text{in}}:
\dot{W} = 0{,}1701 \times 36{,}15\\ \mathrm{W} \approx 6{,}16\\ \mathrm{W}.
(Se usar a forma direta \dot{W} = \dfrac{\eta}{1-\eta}\dot{Q}_c dá resultado consistente.)
Portanto a máquina realiza trabalho com potência \dot{W} \approx 6{,}16\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Por fim calculamos a energia recebida da fonte quente durante 10{,}0 minutos. Primeiro convertemos o tempo para segundos porque as potências estão em watts (joule por segundo):
t = 10{,}0\\ \text{min} = 10{,}0 \times 60 = 600\\ \mathrm{s}.
A energia total recebida é
Q_{\text{in}} = \dot{Q}_{\text{in}} \times t.
Usando \dot{Q}_{\text{in}} \approx 36{,}15\\ \mathrm{W}:
Q_{\text{in}} \approx 36{,}15 \times 600\\ \mathrm{J} = 21\,690\\ \mathrm{J}.
Arredondando a três algarismos significativos: Q_{\text{in}} = 2{,}17\times 10^{4}\\ \mathrm{J} (ou 21{,}7\\ \mathrm{kJ}).

Resposta

(a) \eta = 17{,}0\%.
(b) \dot{W} = 6{,}16\\ \mathrm{W}.
(c) Q_{\text{in}} = 2{,}17\times 10^{4}\\ \mathrm{J}.

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