Questão 2. Seja V um espaço euclidiano. Mostre que
\|u+v\| \leq\|u\|+\|v\|, \quad \forall u, v \in V

Passo 1

O enunciado nos pede para provar a desigualdade triangular em um espaço euclidiano V, ou seja, mostrar que
\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|,
para todos u,v\in V. Vamos usar que a norma é induzida pelo produto interno, isto é,
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle},
e também a Desigualdade de Cauchy–Schwarz:
\langle u,v\rangle\le\|u\|\,\|v\|.

Passo 2

Começamos calculando o quadrado da norma de u+v:
\|u+v\|^2=\langle u+v,\;u+v\rangle.

Passo 3

Pela bilinearidade e simetria do produto interno, expandimos:
\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle+2\,\langle u,v\rangle+\langle v,v\rangle =\|u\|^2+2\,\langle u,v\rangle+\|v\|^2.

Passo 4

Aplicando a Desigualdade de Cauchy–Schwarz em \langle u,v\rangle, obtemos
\langle u,v\rangle\le\|u\|\;\|v\|.
Substituindo na expansão anterior:
\|u+v\|^2 \le\|u\|^2+2\,\|u\|\|v\|+\|v\|^2 =(\|u\|+\|v\|)^2.

Passo 5

Como ambos os lados são não negativos, podemos extrair raiz quadrada para concluir
\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|,
que é exatamente a desigualdade triangular.

Resposta

\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|

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