Questão 2. Seja
um espaço euclidiano. Mostre que
Passo 1
O enunciado nos pede para provar a desigualdade triangular em um espaço euclidiano
, ou seja, mostrar que
para todos
. Vamos usar que a norma é induzida pelo produto interno, isto é,
e também a Desigualdade de Cauchy–Schwarz:
Passo 2
Começamos calculando o quadrado da norma de
:
Passo 3
Pela bilinearidade e simetria do produto interno, expandimos:
Passo 4
Aplicando a Desigualdade de Cauchy–Schwarz em
, obtemos
Substituindo na expansão anterior:
Passo 5
Como ambos os lados são não negativos, podemos extrair raiz quadrada para concluir
que é exatamente a desigualdade triangular.