Questão 4 (12 pontos). Considere o sistema linear: .
(a) Determine os valores possíveis de a para que o sistema tenha solução única.
(b) Determine se o sistema tem solução com a=3.
(c) Resolva o sistema com a=-1.
Passo 1
O enunciado pede análise do sistema linear
a x + y + 5z = 1 x + y + a z = a x - y - z = 0
Precisamos: (i) calcular o determinante da matriz dos coeficientes, (ii) usar o critério de existência/ unicidade de solução, e (iii) resolver por substituição quando for o caso.
det1 & a -1 & -1=a-1, det1 & a 1 & -1=-(a+1), det1 & 1 1 & -1=-2
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De<a(a)=a(a-1)-( - (a+1) )+5(-2)=a^2-9
Passo 3
Para ter solução única é preciso De<a(a)neq0. Assim,
a^2-9neq0Longrightarrow aneq3,;-3
Portanto no item (a) o sistema tem solução única para aneq3 e aneq-3.
Passo 4
Para a=3 temos sistema singular. Escrevendo: 3x+y+5z=1, x+y+3z=3, x-y-z=0
Das duas últimas equações obtemos y+2z=3/2 e y+2z=1/4,
que são contraditórias. Logo não há solução para a=3.
Passo 5
Para a=-1 o determinante é (-1)^2-9=-8neq0, logo solução única. Usando as equações -x+y+5z=1, x+y-z=-1, x-y-z=0,
da 2ª e 3ª obtemos x=z-1/2 e y=-1/2. Substituindo na 1ª: - (z-1/2)-1/2+5z=1 leva a 4z=1, ou seja z=1/4. Daí x=-1/4,;y=-1/2,;z=1/4
Resposta
(a) Solução única se aneq3 e aneq-3.
(b) Para a=3 o sistema é incompatível (sem solução).
(c) Para a=-1: (x,y,z)=(-tfrac14,-tfrac12,tfrac14).