Questão 4 (12 pontos). Considere o sistema linear: ca x+y+5 z=1 x+y+a z=a x-y-z=0.
(a) Determine os valores possíveis de a para que o sistema tenha solução única.
(b) Determine se o sistema tem solução com a=3.
(c) Resolva o sistema com a=-1.

Passo 1

O enunciado pede análise do sistema linear
a x + y + 5z = 1 x + y + a z = a x - y - z = 0
Precisamos: (i) calcular o determinante da matriz dos coeficientes, (ii) usar o critério de existência/ unicidade de solução, e (iii) resolver por substituição quando for o caso.

Passo 2

Vamos calcular o determinante
De<a(a)=deta & 1 & 5 1 & 1 & a 1 & -1 & -1 = adet1 & a -1 & -1 -1det1 & a 1 & -1 +5det1 & 1 1 & -1
Calculando cada co-fator:
det1 & a -1 & -1=a-1, det1 & a 1 & -1=-(a+1), det1 & 1 1 & -1=-2
Logo
De<a(a)=a(a-1)-( - (a+1) )+5(-2)=a^2-9

Passo 3

Para ter solução única é preciso De<a(a)neq0. Assim,
a^2-9neq0Longrightarrow aneq3,;-3
Portanto no item (a) o sistema tem solução única para aneq3 e aneq-3.

Passo 4

Para a=3 temos sistema singular. Escrevendo:
3x+y+5z=1, x+y+3z=3, x-y-z=0
Das duas últimas equações obtemos
y+2z=3/2 e y+2z=1/4,
que são contraditórias. Logo não há solução para a=3.

Passo 5

Para a=-1 o determinante é (-1)^2-9=-8neq0, logo solução única. Usando as equações
-x+y+5z=1, x+y-z=-1, x-y-z=0,
da 2ª e 3ª obtemos
x=z-1/2 e y=-1/2. Substituindo na 1ª:
- (z-1/2)-1/2+5z=1 leva a 4z=1, ou seja z=1/4. Daí
x=-1/4,;y=-1/2,;z=1/4

Resposta

(a) Solução única se aneq3 e aneq-3.
(b) Para a=3 o sistema é incompatível (sem solução).
(c) Para a=-1: (x,y,z)=(-tfrac14,-tfrac12,tfrac14).

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