Sejam alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica do R^3 e beta=(1,0,-1),(2,-1,0),(-3,1,2) outra base do R^3.
Seja T: R^3 R^3 o operador linear tal que [T]beta^alpha=[rrr1 & 1 & 1 0 & 1 & 4 -1 & 0 & 2].
Seja S: R^3 R^3 dada por S(x, y, z)=(y+z, x-4 y,-x-2 y+z).
A SOMA DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL da matriz [S circ T]alpha^alpha pertence a qual dos intervalos abaixo ?
(A) (-infty,-11]
(B) (-11,-8]
(C) (-8,-5]
(D) (-5,-2]
(E) (-2,0]
(F) (0,2]
(G) (2,5]
(H) (5,8]
(I) (8,11]
(J) (11,+infty)

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3: a canônica
alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e
beta=(1,0,-1),(2,-1,0),(-3,1,2). Temos também duas transformações lineares
T e S. Sabemos o formato de
[T]beta^alpha e queremos a soma dos elementos da diagonal de
[Scirc T]alpha^alpha. Para isso precisamos:
  1. Encontrar [T]alpha^alpha via mudança de base de alpha para beta.
  2. Obter [S]alpha^alpha na base canônica.
  3. Calcular [Scirc T]alpha^alpha = [S]alpha^alpha,[T]alpha^alpha e somar suas entradas diagonais.

Passo 2

Construímos a matriz de mudança de base P cujas colunas são os vetores de beta em coordenadas de alpha:
P = 1 & 2 & -3 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 2 ,
que satisfaz ,P,[v]beta=[v]alpha. Calculamos
det(P)=-1 e, pelo método da adjunta,
P^-1 = 2 & 4 & 1 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1

Passo 3

Como
[T]beta^alpha leva coordenadas em beta para alpha, para obter
[T]alpha^alpha fazemos
[T]alpha^alpha = [T]beta^alpha;P^-1
Dado
[T]beta^alpha =1&1&10&1&4-1&0&2
e
P^-1 =2&4&11&1&11&2&1,
multiplicando obtemos
[T]alpha^alpha = 4 & 7 & 3 5 & 9 & 5 0 & 0 & 1

Passo 4

A transformação
S(x,y,z) = (y+z,;x-4y,,-x-2y+z) tem, na base canônica alpha, a matriz
[S]alpha^alpha = 0 & 1 & 1 1 & -4 & 0 -1 & -2 & 1

Passo 5

A composição Scirc T em alpha fica
[Scirc T]alpha^alpha = [S]alpha^alpha [T]alpha^alpha = 0 & 1 & 1 1 & -4 & 0 -1 & -2 & 1 4 & 7 & 3 5 & 9 & 5 0 & 0 & 1 = 5 & 9 & 6 -16 & -29 & -17 -14 & -25 & -12

Passo 6

A soma dos elementos da diagonal principal de [Scirc T]alpha^alpha é
5 + (-29) + (-12) ;=;-36

Passo 7

O valor -36 pertence ao intervalo (-infty,,-11], que é a alternativa (A).

Resposta

(A)

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