Sejam a base canônica do outra base do .
Seja o operador linear tal que .
Seja S: R^3 R^3 dada por S(x, y, z)=(y+z, x-4 y,-x-2 y+z).
A SOMA DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL da matriz [S circ T]alpha^alpha pertence a qual dos intervalos abaixo ?
(A) (-infty,-11]
(B) (-11,-8]
(C) (-8,-5]
(D) (-5,-2]
(E) (-2,0]
(F) (0,2]
(G) (2,5]
(H) (5,8]
(I) (8,11]
(J) (11,+infty)
Passo 1
O enunciado dá duas bases de R^3: a canônica alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e beta=(1,0,-1),(2,-1,0),(-3,1,2). Temos também duas transformações lineares T e S. Sabemos o formato de [T]beta^alpha e queremos a soma dos elementos da diagonal de [Scirc T]alpha^alpha. Para isso precisamos:
Encontrar [T]alpha^alpha via mudança de base de alpha para beta.
Obter [S]alpha^alpha na base canônica.
Calcular [Scirc T]alpha^alpha = [S]alpha^alpha,[T]alpha^alpha e somar suas entradas diagonais.
Passo 2
Construímos a matriz de mudança de base P cujas colunas são os vetores de beta em coordenadas de alpha:
P = 1 & 2 & -3 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 2 ,
que satisfaz ,P,[v]beta=[v]alpha. Calculamos det(P)=-1 e, pelo método da adjunta,
P^-1 = 2 & 4 & 1 1 & 1 & 1 1 & 2 & 1
Passo 3
Como [T]beta^alpha leva coordenadas em beta para alpha, para obter [T]alpha^alpha fazemos
[T]alpha^alpha = [T]beta^alpha;P^-1
Dado [T]beta^alpha =1&1&10&1&4-1&0&2
e P^-1 =2&4&11&1&11&2&1,
multiplicando obtemos
[T]alpha^alpha = 4 & 7 & 3 5 & 9 & 5 0 & 0 & 1
Passo 4
A transformação S(x,y,z) = (y+z,;x-4y,,-x-2y+z) tem, na base canônica alpha, a matriz