Sejam a base canônica do outra base do .
Seja o operador linear tal que .
Seja S: R^3 R^3 dada por S(x, y, z)=(y+z, x-4 y,-x-2 y+z).
A SOMA DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL da matriz [S]beta^beta pertence a qual dos intervalos abaixo ?
(A) (-infty,-11]
(B) (-11,-8]
(C) (-8,-5]
(D) (-5,-2]
(E) (-2,0]
(F) (0,2]
(G) (2,5]
(H) (5,8]
(I) (8,11]
(J) (11,+infty)
Passo 1
O enunciado dá duas bases de R^3, a canônica alpha e uma outra beta, e define o operador linear
S(x,y,z) = (y+z,;x-4y,;-x-2y+z)
Pede-se a soma dos elementos da diagonal principal da matriz [S]beta^beta e em qual dos intervalos listados ela se encontra.
Passo 2
Sabemos que a soma dos elementos da diagonal principal (traço) de uma representação matricial de um operador linear é invariante por mudança de base. Logo, basta calcular tr([S]alpha^alpha), ou seja, a soma dos diagonais da matriz de S na base canônica.
Passo 3
Para obter [S]alpha^alpha, achamos as imagens de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) em coordenadas canônicas: