Sejam alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica do R^3 e beta=(1,0,-1),(2,-1,0),(-3,1,2) outra base do R^3.
Seja T: R^3 R^3 o operador linear tal que [T]beta^alpha=[rrr1 & 1 & 1 0 & 1 & 4 -1 & 0 & 2].
Seja S: R^3 R^3 dada por S(x, y, z)=(y+z, x-4 y,-x-2 y+z).
A SOMA DOS ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL da matriz [S]beta^beta pertence a qual dos intervalos abaixo ?
(A) (-infty,-11]
(B) (-11,-8]
(C) (-8,-5]
(D) (-5,-2]
(E) (-2,0]
(F) (0,2]
(G) (2,5]
(H) (5,8]
(I) (8,11]
(J) (11,+infty)

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3, a canônica alpha e uma outra beta, e define o operador linear
S(x,y,z) = (y+z,;x-4y,;-x-2y+z)
Pede-se a soma dos elementos da diagonal principal da matriz [S]beta^beta e em qual dos intervalos listados ela se encontra.

Passo 2

Sabemos que a soma dos elementos da diagonal principal (traço) de uma representação matricial de um operador linear é invariante por mudança de base. Logo, basta calcular tr([S]alpha^alpha), ou seja, a soma dos diagonais da matriz de S na base canônica.

Passo 3

Para obter [S]alpha^alpha, achamos as imagens de (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) em coordenadas canônicas:
S(1,0,0) = (0,1,-1), S(0,1,0) = (1,-4,-2), S(0,0,1) = (1,0,1)
Assim,
[S]alpha^alpha = 0 & 1 & 1 1 & -4 & 0 -1 & -2 & 1

Passo 4

O traço dessa matriz é a soma dos elementos da diagonal principal:
tr([S]alpha^alpha) = 0 + (-4) + 1 = -3
Pelo que vimos no Passo 2, esse é também o traço de [S]beta^beta.

Passo 5

Agora determinamos em qual intervalo -3 cai. Entre as opções:
(-5,-2]contém;-3 é
Isso corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) (-5,-2]

Exercícios relacionados