QUESTÃO 16. Seja a função
. Calcule:
a) os pontos extremos: máximos e/ou mínimos locais.
b) o ponto de inflexão.
c) os intervalos em que
é crescente, decrescente, concavidade voltada para baixo e voltada para cima.
a) os pontos extremos: máximos e/ou mínimos locais.
b) o ponto de inflexão.
c) os intervalos em que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) pontos extremos locais;
b) ponto de inflexão;
c) intervalos de crescimento, decrescimento, concavidade voltada para baixo e voltada para cima.
Para isso vamos usar a derivada primeira para extremos e monotonia, e a derivada segunda para concavidade e inflexão.
a) pontos extremos locais;
b) ponto de inflexão;
c) intervalos de crescimento, decrescimento, concavidade voltada para baixo e voltada para cima.
Para isso vamos usar a derivada primeira para extremos e monotonia, e a derivada segunda para concavidade e inflexão.
Passo 2
Calcular a derivada primeira e achar os pontos críticos:
Assim,
em
e
. Avaliando
nesses pontos:
Passo 3
Usar a derivada segunda para classificar os extremos:
Em
:
logo há um máximo local em
.
Em :
Em
logo há um mínimo local em
.
Passo 4
Determinar o ponto de inflexão resolvendo
:
Então
e o ponto de inflexão é
.
Passo 5
Analisar monotonia pelo sinal de
:
– Para , ambos
e
são negativos, logo
.
– Para ,
e
, logo
.
– Para , ambos fatores são positivos, logo
.
Portanto é crescente em
e decrescente em
.
– Para
– Para
– Para
Portanto
Passo 6
Analisar concavidade pelo sinal de
:
– Para ,
, concavidade voltada para baixo.
– Para ,
, concavidade voltada para cima.
– Para
– Para
Resposta
a) Máximo local em
; mínimo local em
.
b) Ponto de inflexão em .
c)
b) Ponto de inflexão em
c)
-
é crescente em e decrescente em . -
é côncava para baixo em e côncava para cima em .