QUESTÃO 16. Seja a função f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+1. Calcule:
a) os pontos extremos: máximos e/ou mínimos locais.
b) o ponto de inflexão.
c) os intervalos em que \mathrm{f}(\mathrm{x}) é crescente, decrescente, concavidade voltada para baixo e voltada para cima.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1
e pede:
a) pontos extremos locais;
b) ponto de inflexão;
c) intervalos de crescimento, decrescimento, concavidade voltada para baixo e voltada para cima.
Para isso vamos usar a derivada primeira para extremos e monotonia, e a derivada segunda para concavidade e inflexão.

Passo 2

Calcular a derivada primeira e achar os pontos críticos:
f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9 = 3(x^{2} - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3).
Assim, f'(x)=0 em x=1 e x=3. Avaliando f nesses pontos:
f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5, \qquad f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1.

Passo 3

Usar a derivada segunda para classificar os extremos:
f''(x) = 6x - 12.
Em x=1:
f''(1) = 6 - 12 = -6 < 0
logo há um máximo local em (1,5).
Em x=3:
f''(3) = 18 - 12 = 6 > 0
logo há um mínimo local em (3,1).

Passo 4

Determinar o ponto de inflexão resolvendo f''(x)=0:
6x - 12 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2.
Então
f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3,
e o ponto de inflexão é (2,3).

Passo 5

Analisar monotonia pelo sinal de f'(x)=3(x-1)(x-3):
– Para x<1, ambos (x-1) e (x-3) são negativos, logo f'(x)>0.
– Para 1<x<3, (x-1)>0 e (x-3)<0, logo f'(x)<0.
– Para x>3, ambos fatores são positivos, logo f'(x)>0.
Portanto f é crescente em (-\infty,1)\cup(3,\infty) e decrescente em (1,3).

Passo 6

Analisar concavidade pelo sinal de f''(x)=6(x-2):
– Para x<2, f''(x)<0, concavidade voltada para baixo.
– Para x>2, f''(x)>0, concavidade voltada para cima.

Resposta

a) Máximo local em (1,5); mínimo local em (3,1).
b) Ponto de inflexão em (2,3).
c)
  • f é crescente em (- \infty,1)\cup(3,\infty) e decrescente em (1,3).
  • f é côncava para baixo em (- \infty,2) e côncava para cima em (2,\infty).

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