Questão 13. Prove as seguintes propriedades básicas da união e interseção para quaisquer conjuntos
:
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu prove duas afirmações sobre conjuntos quaisquer
. As coisas que ele me deu e que vou usar são:
-
e são conjuntos arbitrários (não preciso de mais informações sobre eles). - As duas afirmações a provar são:
-
. -
.
-
Passo 2
Antes de começar a prova, vamos lembrar definições formais e o método que vou usar (só isso; nada de complicado ainda).
- Definição de subconjunto: dizer que
significa, por definição,
Isto é, todo elemento de
também pertence a
.
- Definição de interseção: dizer que
significa, por definição,
- Método de prova que vou usar: prova por “element chasing” (caçar um elemento). Ou seja, pego um elemento arbitrário
de e mostro que ele pertence a (ou a ). Como é arbitrário, isso prova a inclusão para todos os elementos, portanto a relação de subconjunto.
Passo 3
Vou provar a primeira inclusão
usando exatamente o que expliquei: escolher um elemento genérico de
e deduzir que está em
.
Passo 4
Prova de
:
- Seja
um elemento arbitrário tal que . - Pela definição de interseção, de
segue que e . - Em particular, a parte “e” dá diretamente
. - Como
foi escolhido arbitrariamente dentro de , concluí que todo pertence a . - Portanto, pela definição de subconjunto,
Passo 5
Prova de
(idêntica, só trocando o alvo):
- Seja
um elemento arbitrário tal que . - Pela definição de interseção,
e . - Em particular, disso segue
. - Como
foi arbitrário, todo pertence a . - Portanto, pela definição de subconjunto,
Passo 6
Comentário final (intuitivo e rápido, para você se animar): a interseção
reúne apenas os elementos que estão em ambos os conjuntos, então é óbvio na intuição que tudo que está em
está em
e também em
. A prova formal só organiza essa intuição com definições e um argumento sobre um elemento arbitrário — padrão que cai muito bem na prova.