Questão 13. Prove as seguintes propriedades básicas da união e interseção para quaisquer conjuntos A, B, C :
A \cap B \subseteq A e A \cap B \subseteq B.

Passo 1

O enunciado pede que eu prove duas afirmações sobre conjuntos quaisquer A,B,C. As coisas que ele me deu e que vou usar são:
  • A e B são conjuntos arbitrários (não preciso de mais informações sobre eles).
  • As duas afirmações a provar são:
    • A\cap B \subseteq A.
    • A\cap B \subseteq B.

Passo 2

Antes de começar a prova, vamos lembrar definições formais e o método que vou usar (só isso; nada de complicado ainda).
  • Definição de subconjunto: dizer que X\subseteq Y significa, por definição,
\forall x\,(x\in X \Rightarrow x\in Y).
Isto é, todo elemento de X também pertence a Y.
  • Definição de interseção: dizer que x\in A\cap B significa, por definição,
x\in A\cap B \iff (x\in A)\\ \text{e}\\ (x\in B).
  • Método de prova que vou usar: prova por “element chasing” (caçar um elemento). Ou seja, pego um elemento arbitrário x de A\cap B e mostro que ele pertence a A (ou a B). Como x é arbitrário, isso prova a inclusão para todos os elementos, portanto a relação de subconjunto.

Passo 3

Vou provar a primeira inclusão A\cap B \subseteq A usando exatamente o que expliquei: escolher um elemento genérico de A\cap B e deduzir que está em A.

Passo 4

Prova de A\cap B \subseteq A:
  • Seja x um elemento arbitrário tal que x\in A\cap B.
  • Pela definição de interseção, de x\in A\cap B segue que x\in A e x\in B.
  • Em particular, a parte “e” dá diretamente x\in A.
  • Como x foi escolhido arbitrariamente dentro de A\cap B, concluí que todo x\in A\cap B pertence a A.
  • Portanto, pela definição de subconjunto,
A\cap B \subseteq A.

Passo 5

Prova de A\cap B \subseteq B (idêntica, só trocando o alvo):
  • Seja x um elemento arbitrário tal que x\in A\cap B.
  • Pela definição de interseção, x\in A e x\in B.
  • Em particular, disso segue x\in B.
  • Como x foi arbitrário, todo x\in A\cap B pertence a B.
  • Portanto, pela definição de subconjunto,
A\cap B \subseteq B.

Passo 6

Comentário final (intuitivo e rápido, para você se animar): a interseção A\cap B reúne apenas os elementos que estão em ambos os conjuntos, então é óbvio na intuição que tudo que está em A\cap B está em A e também em B. A prova formal só organiza essa intuição com definições e um argumento sobre um elemento arbitrário — padrão que cai muito bem na prova.

Resposta

A\cap B \subseteq A
A\cap B \subseteq B

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