Sejam vecu, vecv e vecw vetores em E^3. Mostre que:
vecu+(-u)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em E^3, a soma de um vetor vec u com seu inverso aditivo -vec u é o vetor nulo vec 0. Vamos usar a representação componente a componente e a definição de inverso aditivo em espaços vetoriais.

Passo 2

Em E^3, escrevemos
vec u = (u1,,u2,,u3)
Por definição, o inverso aditivo -vec u é o vetor que satisfaz
vec u + (-vec u) = vec 0
Mas, construtivamente, tomamos
-vec u = (-u1,,-u2,,-u3)

Passo 3

Agora calculamos a soma componente a componente:
vec u + (-vec u) = (u1,,u2,,u3) + (-u1,,-u2,,-u3) = l(u1+(-u1),,u2+(-u2),,u3+(-u3)r)

Passo 4

Como ui + (-ui)=0 para cada i=1,2,3, obtemos
vec u + (-vec u) = (0,0,0),
e por definição (0,0,0) é o vetor nulo vec 0.

Resposta

vec u + (-vec u) = vec 0

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