Questão 12: Suponha que A seja uma matriz simétrica A. O espaço coluna de C(A) é perpendicular ao espaço nulo de A? Justifique.
Solução: Como A é uma matriz simétrica, N(A). Assim, é ortogonal a .

Passo 1

Resumo da questão: Temos uma matriz simétrica A (ou seja, A^T = A) e queremos saber se o espaço coluna de A, C(A), é perpendicular ao espaço nulo de A, N(A). Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental da Álgebra Linear sobre subespaços de matrizes e a propriedade de simetria.

Passo 2

Definições e Teorema Fundamental: O espaço nulo de A é N(A)=xin R^n:Ax=0 e o espaço linha (ou espaço da matriz transposta) é C(A^T)=A^Tv:vin R^m. O Teorema Fundamental diz que C(A^T) é ortogonal a N(A), pois se xin N(A) então Ax=0 e, para qualquer yin C(A^T), existe v tal que y=A^T v, logo prova da ortogonalidade C(A^T)perp N(A):
y"]=A^T v,
ycdot x = (A^T v)cdot x = v^T(Ax) = v^T 0 = 0,
portanto y é perpendicular a x. Como isso vale para todo yin C(A^T) e todo xin N(A), concluímos C(A^T)perp N(A).

Passo 3

Uso da simetria de A: Como A é simétrica, temos A^T=A e, consequentemente,
C(A^T)=C(A)
Unindo com o resultado anterior, obtemos a ortogonalidade entre C(A) e N(A).

Resposta

Sim. Em uma matriz simétrica A, vale C(A)=C(A^T) e sabemos pelo Teorema Fundamental que C(A^T) é perpendicular a N(A). Logo C(A) é perpendicular a N(A).

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