Questão 12: Suponha que
seja uma matriz simétrica
. O espaço coluna de
é perpendicular ao espaço nulo de A? Justifique.
Solução: Como A é uma matriz simétrica,
. Assim,
é ortogonal a
.
Passo 1
Resumo da questão: Temos uma matriz simétrica
(ou seja,
) e queremos saber se o espaço coluna de
,
, é perpendicular ao espaço nulo de
,
. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental da Álgebra Linear sobre subespaços de matrizes e a propriedade de simetria.
Passo 2
Definições e Teorema Fundamental: O espaço nulo de
é
e o espaço linha (ou espaço da matriz transposta) é
. O Teorema Fundamental diz que
é ortogonal a
, pois se
então
e, para qualquer
, existe
tal que
, logo prova da ortogonalidade
:
portanto
é perpendicular a
. Como isso vale para todo
e todo
, concluímos
.
Passo 3
Uso da simetria de
: Como
é simétrica, temos
e, consequentemente,
Unindo com o resultado anterior, obtemos a ortogonalidade entre
e
.
Resposta
Sim. Em uma matriz simétrica
, vale
e sabemos pelo Teorema Fundamental que
é perpendicular a
. Logo
é perpendicular a
.