Verifique se as transformações abaixo são lineares:
denota o traço de
, i.e., a soma dos elementos da diagonal principal de
)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
, dada por
, é linear. O conteúdo é transformações lineares; vamos usar a definição: um operador
é linear se satisfaz aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Para aditividade precisamos mostrar que
. De fato, usando a propriedade do traço temos
Passo 3
Para homogeneidade precisamos mostrar que
para todo escalar
. De novo pela propriedade do traço:
Passo 4
Como satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, concluímos que
é uma transformação linear.