Verifique se as transformações abaixo são lineares:
denota o traço de , i.e., a soma dos elementos da diagonal principal de )

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação T: M(ntimes n,R)toR, dada por T(A)=trA, é linear. O conteúdo é transformações lineares; vamos usar a definição: um operador T é linear se satisfaz aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Para aditividade precisamos mostrar que T(A+B)=T(A)+T(B). De fato, usando a propriedade do traço temos
T(A+B)=tr(A+B)=trA+trB=T(A)+T(B)

Passo 3

Para homogeneidade precisamos mostrar que T(cA)=c,T(A) para todo escalar c. De novo pela propriedade do traço:
T(cA)=tr(cA)=c,trA=c,T(A)

Passo 4

Como satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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