Questão 13: Considere a matriz ccc1 & -1 & 0 2 & 0 & 1 e o vetor l0 4. Uma solução para o sistema A x=b é o vetor lll1 & 1 & 2. Responda: Esta solução é única ? Em caso positivo, justifique. Em caso negativo, justifique e apresente uma solução alternativa.
Solução: 1) Considerando o posto da matriz. A matriz é baixa (r=m) e larga (r, onde r é o rank da matriz e m e n seu número de linhas e colunas, respectivamente. Logo, por definição, A x=b possui infinitas soluções. Uma delas, por exemplo, é o vetor lll0 & 0 & 4.
2) Considerando os subespaços fundamentais da matriz A. Considerando x in R^3 uma possível solução do sistema A x=b, se b neq 0, x, o sistema poderá admitir uma ou várias soluções. Caso contrário, se N(A) e exists y mid A^T y=x é uma combinação linear de vetores pertencentes a x e a N(A). No caso analisado, z in N(A), implicando que A x=0. Assim, N(A) é uma das possíveis soluções do sistema dado. Para encontrar outras soluções para o sistema, vamos analisar os vetores em z=[1,1,-2]. Para achar os vetores z in N(A), resolvemos A(x+z)=A x+A z=b. Fazendo-o, obtemos . Um vetor particular que satisfaz as condições para é o vetor . Assim para qualquer , temos que

Passo 1

Temos o sistema linear A x=b, com
A=1 & -1 & 02 & 0 & 1, b=04,
e nos deram uma solução particular xp=(1,1,2)^T. O conteúdo envolve sistemas lineares, posto de matriz e espaços fundamentais; precisamos ver se essa solução é única e, se não for, justificar e dar outra.

Passo 2

Vamos calcular o posto de A. As duas linhas
$ (1,-1,0)$ e (1,-1,0) são linearmente independentes, então (2,0,1)

Passo 3

Como A é 2times3, temos m=2, n=3 e r=2, o que indica que o sistema, embora consistente, está subdeterminado e admite infinitas soluções.

Passo 4

Para caracterizar todas as soluções, achamos o núcleo de A resolvendo
A z=0Longrightarrowz1 - z2 = 0,2z1 + z3 = 0 Dessas equações vem z2=z1 e z3=-2z1, logo
N(A)=alpha(1,1,-2)^Tmidalphain R

Passo 5

A solução geral do sistema é
x = xp + z = (1,1,2)^T + alpha,(1,1,-2)^T Para encontrar uma alternativa, basta escolher um alphaneq0. Por exemplo, com alpha=-1
x=(1,1,2)^T - (1,1, -2)^T = (0,0,4)^T

Resposta

A solução não é única: o sistema tem infinitas soluções ( rank(A)=2<3). Uma solução alternativa é x=(0,0,4)^T.

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