Questão 13: Considere a matriz
e o vetor
. Uma solução para o sistema
é o vetor
. Responda: Esta solução é única ? Em caso positivo, justifique. Em caso negativo, justifique e apresente uma solução alternativa.
Solução: 1) Considerando o posto da matriz. A matriz é baixa
e larga
, onde
é o rank da matriz e
e
seu número de linhas e colunas, respectivamente. Logo, por definição,
possui infinitas soluções. Uma delas, por exemplo, é o vetor
.
2) Considerando os subespaços fundamentais da matriz A. Considerando
uma possível solução do sistema
, se
, o sistema poderá admitir uma ou várias soluções. Caso contrário, se
e
é uma combinação linear de vetores pertencentes a
e a
. No caso analisado,
, implicando que
. Assim,
é uma das possíveis soluções do sistema dado. Para encontrar outras soluções para o sistema, vamos analisar os vetores em
. Para achar os vetores
, resolvemos
. Fazendo-o, obtemos
. Um vetor particular que satisfaz as condições para
é o vetor
. Assim para qualquer
, temos que
2) Considerando os subespaços fundamentais da matriz A. Considerando
Passo 1
Temos o sistema linear
, com
e nos deram uma solução particular
Passo 2
Vamos calcular o posto de
. As duas linhas
$ (1,-1,0)$ e
são linearmente independentes, então
Passo 3
Como
é
, temos
,
e
, o que indica que o sistema, embora consistente, está subdeterminado e admite infinitas soluções.
Passo 4
Para caracterizar todas as soluções, achamos o núcleo de
resolvendo
Passo 5
A solução geral do sistema é
Resposta
A solução não é única: o sistema tem infinitas soluções (
). Uma solução alternativa é
.