Questão 12 (TCE/2007)

Sara tem três cartōes magnéticos de Bancos diferentes, A, Be C. Na última semana ela usou os três cartöes para retirar dinheiro em caixas eletrônicos (o mesmo valor e a mesma quantidade de notas), e descobriu que uma das notas sacadas durante esse período era falsa. O banco A diz que a probabilidade de uma nota ser falsa, dado que o dinheiro foi retirado de um de seus caixas eletrônicos, é 0,2%. Já os Bancos B e C afirmam que essas probabilidades para os seus caixas eletrônicos são, respectivamente, 0,1 % e 0,05 %. Sara recebeu uma nota falsa. Qual é a probabilidade dessa nota ter vindo do Banco A ?
(A) 0,47
(B) 0,57
(C) 0,67
(D) 0,77
(E) 0,87

Passo 1

Beleza, resumindo: a Sara sacou o mesmo monte de notas de 3 bancos (A, B e C) e achou uma nota falsa. Cada banco tem uma chance diferente de dar nota falsa: 0,2% (A), 0,1% (B) e 0,05% (C). A pergunta é: qual a chance daquela nota falsa ser do banco A? A gente vai usar probabilidade condicional, o Teorema da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes. Para isso, precisamos das probabilidades condicionais P(F|A), P(F|B), P(F|C) e também das chances iniciais P(A), P(B), P(C).

Passo 2

Como ela sacou o mesmo número de notas de cada banco, cada nota tem chance igual de ter vindo de A, B ou C, ou seja
P(A)=P(B)=P(C)=13
Também convertemos os percentuais em decimais para ficar mais simples:
P(F|A)=0,2%=0,002, P(F|B)=0,1%=0,001, P(F|C)=0,05%=0,0005

Passo 3

Pelo Teorema da Probabilidade Total, a probabilidade de tirar uma nota falsa (sem saber o banco) é
P(F)=P(F|A),P(A)+P(F|B),P(B)+P(F|C),P(C)
Substituindo os valores:
P(F)=0,002cdot13+0,001cdot13+0,0005cdot13 =0,002+0,001+0,00053 =0,00353 approx0,0011667

Passo 4

Agora, pelo Teorema de Bayes, a probabilidade de a nota falsa ter vindo do banco A é
P(A|F)=P(F|A),P(A)P(F) =0,002cdot130,0011667 approx0,5714 approx0,57

Resposta

0,57

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