Questão 14 (IBGE/2010)

Lança-se uma moeda honesta três vezes. Sejam os eventos:
A = {sair duas caras ou três caras} e
B=o s dois primeiros resultados são iguais
Nessas condições, tem-se que
(A) P(A)=0,25 ; P(B)=0,25 ; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos.
(B) P(A)=0,25 ; P(B)=0,25 ; A e B são independentes e não são mutuamente exclusivos.
(C) P(A)=0,5 ; P(B)=0,25 ; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos.
(D) P(A)=0,5 ; P(B)=0,5 ; A e B são independentes e não são mutuamente exclusivos.
(E) P(A)=0,5 ; P(B)=0,5 ; A e B não são independentes e não são mutuamente exclusivos.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente lança uma moeda justa 3 vezes e define:
A = “sair duas caras ou três caras”
B = “os dois primeiros resultados são iguais”
Matéria envolvida: probabilidade em espaço amostral finito, contagem de casos, definição de eventos independentes e mutuamente exclusivos.
Para resolver vamos precisar:
• Calcular o tamanho do espaço amostral S
• Contar quantos resultados estão em A, em B e em Acap B
• Calcular P(A), P(B), P(Acap B)
• Verificar se P(Acap B)=P(A),P(B) (independência)
• Verificar se P(Acap B)=0 (mutuamente exclusivos)

Passo 2

Determinar P(A).
O espaço amostral tem lvert Srvert=2^3=8 resultados totais.
Em A queremos exatamente 2 caras ( binom32=3 casos) ou 3 caras ( binom33=1 caso), total de 4 resultados.
Logo
P(A)=48=tfrac12

Passo 3

Determinar P(B).
B é o evento “primeiros dois resultados iguais”, ou seja HH_ ou TT_.
Cada padrão (HH ou TT) permite 2 possibilidades no terceiro lançamento, totalizando 2times2=4 resultados.
Logo
P(B)=48=tfrac12

Passo 4

Determinar P(Acap B).
Queremos os resultados em que os dois primeiros são iguais e ao todo há pelo menos 2 caras.
– Se for HH_, os casos são HHH e HHT (2 resultados) e ambos têm ≥2 caras.
– Se for TT_, nenhum tem ≥2 caras.
Total em Acap B=2 casos, então
P(Acap B)=28=tfrac14

Passo 5

Testar independência:
Eventos são independentes se
P(Acap B);=;P(A),P(B)
Aqui P(A)P(B)=tfrac12timestfrac12=tfrac14, que coincide com P(Acap B).
Logo são independentes.
Testar mutually exclusive:
Ser mutuamente exclusivo significaria P(Acap B)=0, mas aqui P(Acap B)=tfrac14>0.
Então NÃO são mutuamente exclusivos.

Resposta

(D) P(A)=0,5; ;P(B)=0,5; A e B são independentes e não são mutuamente exclusivos.

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