Questão 12 (VUNESP 2018/IPSM São José dos Campos). Um produto teve o seu preço de venda aumentado, no período correspondente de janeiro a abril de 2017, em 26,5 \%, devido aos problemas climáticos ocorridos na região em que ele é produzido. Em maio do mesmo ano, o preço desse produto novamente aumentou, de \mathrm{R} \ 3,60 , para\mathrm{R} $5,22$ o quilograma. Dessa forma, é correto afirmar que, de janeiro a maio, o preço desse produto aumentou, aproximadamente ?

Passo 1

O enunciado dá duas informações importantes e faz uma pergunta única. Vou listar o que foi dado e o que se pede:
  • De janeiro a abril de 2017 o preço do produto aumentou 26{,}5\%.
  • Em maio, o preço do produto passou de \mathrm{R}\$\,3{,}60 para \mathrm{R}\$\,5{,}22 por quilograma. (Ou seja, o preço imediatamente antes do aumento de maio era \mathrm{R}\$\,3{,}60 e, depois do aumento de maio, passou a ser \mathrm{R}\$\,5{,}22.)
  • Pergunta: de janeiro a maio (ou seja, comparando o preço em janeiro com o preço em maio), o preço aumentou aproximadamente qual porcentagem?

Passo 2

Entendendo porcentagem e fator multiplicativo (a pequena “aula” que você pediu):
  • Quando um valor sofre um aumento de p\%, o novo valor é o valor antigo multiplicado por 1+\dfrac{p}{100}.
  • Ex.: um aumento de 10\% corresponde a multiplicar por 1{,}10; um aumento de 26{,}5\% corresponde a multiplicar por 1{,}265.
  • Se quisermos o aumento percentual total entre um preço inicial P_0 e um preço final P_f, usamos \dfrac{P_f}{P_0} como fator; a porcentagem de aumento é \bigl(\dfrac{P_f}{P_0}-1\bigr)\times 100\%.

Passo 3

Relacione as informações dadas usando essas ideias:
  • Seja P_0 o preço em janeiro. Após o aumento de janeiro a abril (de 26{,}5\%) o preço passou a ser P_0\cdot 1{,}265. O enunciado diz que esse valor é \mathrm{R}\$\,3{,}60. Logo:
P_0\cdot 1{,}265 = 3{,}60.
  • Assim o preço em janeiro é
P_0 = \dfrac{3{,}60}{1{,}265}.

Passo 4

Calcule P_0 aproximadamente (mostrando a conta de forma simples):
P_0 \approx \dfrac{3{,}60}{1{,}265}\approx 2{,}846\\ (\text{em reais por kg}).
(Verificação rápida: 2{,}846\times 1{,}265\approx 3{,}60.)

Passo 5

Agora acha-se o fator total de janeiro a maio: preço final em maio dividido pelo preço inicial em janeiro. Usamos o atalho que evita dividir pelo P_0 calculado:
  • Primeiro veja que a multiplicação total é produto dos fatores parciais:
\frac{P_{\text{maio}}}{P_{ \text{jan}}} = \underbrace{\frac{P_{\text{abril}}}{P_{\text{jan}}}}_{=1{,}265}\cdot \underbrace{\frac{P_{\text{maio}}}{P_{\text{abril}}}}_{=\dfrac{5{,}22}{3{,}60}}.
  • Calcule \dfrac{5{,}22}{3{,}60}=1{,}45. Então
\frac{P_{\text{maio}}}{P_{\text{jan}}}=1{,}265\times 1{,}45.

Passo 6

Multiplique os fatores com detalhe para você poder reproduzir na prova sem calculadora:
  • Faça 1{,}265\times 1{,}45 = 1{,}265\times(1+0{,}45)=1{,}265 + 1{,}265\times 0{,}45.
  • Calcule 1{,}265\times 0{,}45 = 1{,}265\times \dfrac{45}{100} = \dfrac{1{,}265\times 45}{100} = \dfrac{56{,}925}{100}=0{,}56925.
  • Soma: 1{,}265+0{,}56925=1{,}83425.
    Logo o fator total é aproximadamente 1{,}83425.

Passo 7

Converta o fator total em porcentagem de aumento:
  • A porcentagem de aumento é \bigl(1{,}83425-1\bigr)\times 100\% = 0{,}83425\times 100\% = 83{,}425\%.
  • Arredondando para uma forma agradável e prática, dá-se aproximadamente 83{,}4\% (ou, se preferir, cerca de 83\% se a prova pedir um valor menos preciso).

Passo 8

Checagem rápida usando P_0 calculado:
\frac{5{,}22-2{,}846}{2{,}846}\times 100\%\approx \frac{2{,}374}{2{,}846}\times 100\%\approx 83{,}4\%,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

Aumentou aproximadamente 83{,}4\%.

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