Resolva os itens abaixo.
(a) (7 pts) Exprima o vetor X=(1,3,10) como combinação linear
dos vetores U=(1,0,0), V=(1,1,0) e W=(2,-3,5).
(b) (13 pts) Se U_{1}, U_{2} e U_{3} \in \mathbb{R}^{3} são vetores unitários dois a dois ortogonais, então qualquer X \in \mathbb{R}^{3} pode ser escrito como
X=\left(X \cdot U_{1}\right) U_{1}+\left(X \cdot U_{2}\right) U_{2}+\left(X \cdot U_{3}\right) U_{3} .
Com base nessa informação verifique que os vetores U_{1}=(1,0,0), U_{2}=\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) e U_{3}=\left(0,-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) são vetores unitários dois a dois ortogonais e escreva X=(7,3 \sqrt{2},-5 \sqrt{2}) como combinação linear de U_{1}, U_{2} e U_{3}.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. No item (a) queremos escrever
X=(1,3,10)
como combinação linear dos vetores
U=(1,0,0),\quad V=(1,1,0),\quad W=(2,-3,5).
No item (b) usamos que U_1,U_2,U_3 formam uma base ortonormal de \mathbb R^3, de modo que
X=(X\cdot U_1)\,U_1+(X\cdot U_2)\,U_2+(X\cdot U_3)\,U_3.
Precisamos verificar ortogonalidade e norma-1 de
U_1=(1,0,0),\;U_2=\Bigl(0,\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\Bigr),\; U_3=\Bigl(0,-\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\Bigr)
e então expressar
X=(7,3\sqrt2,-5\sqrt2)
nessa base.

Passo 2

Para o item (a) buscamos escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha(1,0,0)+\beta(1,1,0)+\gamma(2,-3,5)=(1,3,10).
Igualando coordenadas obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta+2\gamma=1,\\\ \beta-3\gamma=3,\\\\ 5\gamma=10. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação segue \gamma=2. Substituindo na segunda vem
\beta-3\cdot2=3\quad\Longrightarrow\quad \beta=9.
Na primeira:
\alpha+9+2\cdot2=1\quad\Longrightarrow\quad \alpha=-12.
Logo
(1,3,10)=-12\,U+9\,V+2\,W.

Passo 4

No item (b) verificamos norma e ortogonalidade:
\|U_1\|=1,\quad \|U_2\|=\sqrt{\Bigl(\tfrac1{\sqrt2}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac1{\sqrt2}\Bigr)^2}=1,\quad \|U_3\|=1,
U_1\cdot U_2=0,\quad U_1\cdot U_3=0,\quad U_2\cdot U_3 = -\tfrac12 + \tfrac12 = 0.
Portanto são unitários dois a dois ortogonais.

Passo 5

Para X=(7,3\sqrt2,-5\sqrt2) calculamos as projeções:
X\cdot U_1 =7,
X\cdot U_2 = (3\sqrt2)\tfrac1{\sqrt2}+(-5\sqrt2)\tfrac1{\sqrt2} =3-5=-2,
X\cdot U_3 = (3\sqrt2)\Bigl(-\tfrac1{\sqrt2}\Bigr)+(-5\sqrt2)\tfrac1{\sqrt2} =-3-5=-8.
Logo
X=7\,U_1-2\,U_2-8\,U_3.

Resposta

(a) (1,3,10)=-12\,U+9\,V+2\,W.
(b) (7,3\sqrt2,-5\sqrt2)=7\,U_1-2\,U_2-8\,U_3.

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